10. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=48°, ∠2=57°.

Дано:

• Прямые m и n параллельны.
• \[ \angle 1 = 48^{\circ} \]
• \[ \angle 2 = 57^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle 3 \]

Решение:

Для решения этой задачи проведем вспомогательную прямую, параллельную прямым m и n, через вершину угла 3.

1. \[ \angle 1 \] и угол, смежный с ним (обозначим его как \[ \angle 4 \]), образуют развернутый угол, но нам это не поможет.
2. Угол 1 и угол, образованный секущей и прямой m (внутренний накрест лежащий), равны.
3. Угол 2 и угол, образованный секущей и прямой n (внутренний накрест лежащий), равны.
4. Чтобы найти ∠3, давайте проведём прямую, параллельную m и n, через вершину угла 3.
5. Пусть эта прямая разделит ∠3 на два угла: ∠3a (ближе к ∠1) и ∠3b (ближе к ∠2).
6. \[ \angle 1 \] и \[ \angle 3a \] являются накрест лежащими углами при параллельных прямых m и n и секущей. Следовательно, \[ \angle 3a = \angle 1 = 48^{\circ} \].
7. \[ \angle 2 \] и \[ \angle 3b \] являются накрест лежащими углами при параллельных прямых m и n и второй секущей. Следовательно, \[ \angle 3b = \angle 2 = 57^{\circ} \].
8. \[ \angle 3 \] равен сумме \[ \angle 3a \] и \[ \angle 3b \].
9. \[ \angle 3 = \angle 3a + \angle 3b = 48^{\circ} + 57^{\circ} = 105^{\circ} \]

Ответ: 105°