10. Реши задачу. 1) В трапеции ABCD большее основание AD равно 30 см, меньшее основание BC равно 14 см. M и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины диагоналей AC и BD. Найдите длины отрезков MP, PQ и QN и проверьте, что их сумма равна средней линии трапеции. 2) Средняя линия трапеции равна 23 см, а отрезок между серединами диагоналей равен 9 см. Найдите оба основания и проверьте, что их полусумма равна средней линии, а полуразность — отрезку между серединами диагоналей.

1. Пусть \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон. Отрезки от концов средней линии до середин диагоналей равны половине меньшего основания, а отрезок между серединами диагоналей — половине разности оснований.

   \(MP=\frac{14}{2}=7\) см.

   \(PQ=\frac{30-14}{2}=8\) см.

   \(QN=\frac{14}{2}=7\) см.

   Их сумма равна \(7+8+7=22\) см. Средняя линия трапеции: \(\frac{30+14}{2}=22\) см. Равенство проверено.

2. Полусумма оснований равна 23 см, значит их сумма — \(2\cdot23=46\) см. Полуразность оснований равна 9 см, значит их разность — \(2\cdot9=18\) см.

   Основания: \(\frac{46+18}{2}=32\) см и \(\frac{46-18}{2}=14\) см.

   Проверка: \(\frac{32+14}{2}=23\) см, \(\frac{32-14}{2}=9\) см.

Ответ: 1) \(MP=7\) см, \(PQ=8\) см, \(QN=7\) см; сумма 22 см равна средней линии. 2) Основания — 32 см и 14 см.