10. Решите уравнение: 1) 2x = 128; 2) 35x+1 = 32x; 3) 5x²-5x-14 = 1; 4) 4x = 8; 5) (3/2)^(1-2x) = (8/27)^(x+3); 6) (10x-5)^(x-6) = 100; 7) (4/5)^x * (35/12)^x = 9/49; 8) 3^(4x-x²) = 17^(4x-x²); 9) 4^x * 5^(x-1) = 0.2 * 20^(3-2x); 10) sqrt(27^(x-1)) = cbrt(9^(2-x)).

Решение:

1. \( 2^x = 128 \)

\( 2^x = 2^7 \)

\( x = 7 \)

2. \( 35^{x+1} = 3^{2x} \)

\( 5^{x+1} · 7^{x+1} = (3^2)^x = 9^x \)

\( 5^x · 5 · 7^x · 7 = 9^x \)

\( 5 · 35^x = 9^x \)

\( 5 = \frac{9^x}{35^x} = \left(\frac{9}{35}\right)^x \)

3. \( 5^{x^2-5x-14} = 1 \)

\( 5^{x^2-5x-14} = 5^0 \)

\( x^2 - 5x - 14 = 0 \)

\( (x-7)(x+2) = 0 \)

\( x = 7 \) или \( x = -2 \)

4. \( 4^x = 8 \)

\( (2^2)^x = 2^3 \)

\( 2^{2x} = 2^3 \)

\( 2x = 3 \)

\( x = \frac{3}{2} \)

5. \( \left(\frac{3}{2}\right)^{1-2x} = \left(\frac{8}{27}\right)^{x+3} \)

\( \left(\frac{3}{2}\right)^{1-2x} = \left(\frac{2^3}{3^3}\right)^{x+3} = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^{x+3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{3(x+3)} \)

\( \left(\frac{3}{2}\right)^{1-2x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3(x+3)} \)

\( 1 - 2x = -3(x+3) \)

\( 1 - 2x = -3x - 9 \)

\( x = -10 \)

6. \( (10x-5)^{x-6} = 100 \)

Сложное уравнение, требующее численных методов или предположений. Для \( x=8 \), \( (10 \cdot 8 - 5)^{8-6} = (75)^2 = 5625 \neq 100 \). Для \( x=7 \), \( (10 \cdot 7 - 5)^{7-6} = 65^1 = 65 \neq 100 \).

Если предположить, что \( x-6 \) = 2, то \( 10x-5 = 10 \). \( 10x = 15 \), \( x = 1.5 \). \( (10 \cdot 1.5 - 5)^{1.5-6} = (15-5)^{-4.5} = 10^{-4.5} \neq 100 \).

Если предположить, что \( 10x-5 = 10 \) и \( x-6=2 \), что невозможно, так как \( x \) должно быть одно значение.

Если \( 10x-5 = ±10 \) и \( x-6=2 \), то \( x=8 \). \( 10(8)-5 = 75 \neq ±10 \).

Если \( 10x-5 = ±100 \) и \( x-6=1 \), то \( x=7 \). \( 10(7)-5 = 65 \neq ±100 \).

7. \( \left(\frac{4}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{35}{12}\right)^x = \frac{9}{49} \)

\( \left(\frac{4}{5} \cdot \frac{35}{12}\right)^x = \frac{9}{49} \)

\( \left(\frac{4 \cdot 35}{5 \cdot 12}\right)^x = \frac{9}{49} \)

\( \left(\frac{140}{60}\right)^x = \frac{9}{49} \)

\( \left(\frac{7}{3}\right)^x = \frac{9}{49} \)

\( \left(\frac{7}{3}\right)^x = \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \left(\frac{7}{3}\right)^{-2} \)

\( x = -2 \)

8. \( 3^{4x-x^2} = 17^{4x-x^2} \)

Это равенство верно, если показатель степени равен 0.

\( 4x - x^2 = 0 \)

\( x(4-x) = 0 \)

\( x = 0 \) или \( x = 4 \)

9. \( 4^x · 5^{x-1} = 0.2 · 20^{3-2x} \)

\( 4^x · 5^x · 5^{-1} = \frac{1}{5} · (4 · 5)^{3-2x} \)

\( (4 · 5)^x · \frac{1}{5} = \frac{1}{5} · 4^{3-2x} · 5^{3-2x} \)

\( 20^x = 4^{3-2x} · 5^{3-2x} \)

\( 20^x = (4 · 5)^{3-2x} = 20^{3-2x} \)

\( x = 3 - 2x \)

\( 3x = 3 \)

\( x = 1 \)

10. \( \sqrt{27^{x-1}} = \sqrt[3]{9^{2-x}} \)

\( (27^{\frac{1}{2}})^{x-1} = (9^{\frac{1}{3}})^{2-x} \)

\( 27^{\frac{x-1}{2}} = 9^{\frac{2-x}{3}} \)

\( (3^3)^{\frac{x-1}{2}} = (3^2)^{\frac{2-x}{3}} \)

\( 3^{\frac{3(x-1)}{2}} = 3^{\frac{2(2-x)}{3}} \)

\( \frac{3x-3}{2} = \frac{4-2x}{3} \)

\( 3(3x-3) = 2(4-2x) \)

\( 9x - 9 = 8 - 4x \)

\( 13x = 17 \)

\( x = \frac{17}{13} \)

Ответ: 1) x = 7; 2) нет простого решения; 3) x = 7, x = -2; 4) x = 3/2; 5) x = -10; 7) x = -2; 8) x = 0, x = 4; 9) x = 1; 10) x = 17/13.