10. Решите задачу. Введите ответ в предложенное ниже поле. К окружности радиусом 24 см проведены две касательные из одной точки. Длина большей дуги окружности, ограниченной точками касания, равна 28π см. Найдите угол между касательными. Ответ:

Решение:

• Пусть O - центр окружности, R - ее радиус (R = 24 см).
• Пусть A и B - точки касания. Длина большей дуги AB равна 28π см.
• Длина окружности вычисляется по формуле $$L = 2\pi R$$.
• Длина всей окружности: $$2 \times \pi \times 24 = 48\pi$$ см.
• Длина меньшей дуги AB: $$48\pi - 28\pi = 20\pi$$ см.
• Центральный угол, соответствующий меньшей дуге, равен $$\alpha$$.
• Формула длины дуги: $$L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \times 2\pi R$$.
• $$20\pi = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \times 2\pi \times 24$$.
• $$20 = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \times 48$$.
• $$\alpha = \frac{20 \times 360^{\circ}}{48} = \frac{7200^{\circ}}{48} = 150^{\circ}$$.
• Рассмотрим треугольник OAC, где C - точка, из которой проведены касательные. OA перпендикулярно AC.
• Угол AOC = $$\frac{\alpha}{2} = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$$.
• В прямоугольном треугольнике OAC: $$\angle OAC = 90^{\circ}$$, $$\angle AOC = 75^{\circ}$$.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Угол между касательными (угол ACB) равен $$180^{\circ} - 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$$ (это угол ACO).
• Угол между касательными равен $$2 \times \angle ACO = 2 \times 15^{\circ} = 30^{\circ}$$.

Ответ: 30°