10) Школьника попросили определить массу одной монетки и выдали для этого 25 одинаковых монет, рычажные весы и набор гирек. Оказалось, что самая лёгкая гирька в наборе имела массу 10 г, а монета была ещё легче. Школьник провёл несколько опытов и выяснил, что если на одну чашу весов положить две монеты, то они перевешивают гирю массой 10 г, но легче, чем гиря массой 20 г. Если положить на чашу весов 15 монет, то они легче, чем гири массой 120 г, но тяжелее, чем гири массой 110 г. А если положить 25 монет, то они тяжелее 180 г, но легче 190 г. 1) Определите границы величины массы одной монеты по результатам каждого из трёх экспериментов. Ответ выразите в граммах и округлите до десятых. 2) Оцените, в каком из экспериментов точность определения массы одной монеты будет выше. 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить массу монетки с наибольшей точностью, найдите объём одной монетки и оцените его погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,8 г/см³ точно. Ответ округлите до сотых. Напишите полное решение этой задачи.

Привет! Давай разберёмся с этой непростой задачей про монетку. Будем действовать поэтапно.

Дано:

• 25 одинаковых монет.
• Самая лёгкая гирька — 10 г.
• Монета легче 10 г.
• Плотность монетки $$ \rho = 6.8 $$ г/см³.

Эксперименты:

1. Эксперимент 1: 2 монеты > 10 г, но < 20 г.
2. Эксперимент 2: 15 монет < 120 г, но > 110 г.
3. Эксперимент 3: 25 монет > 180 г, но < 190 г.

Найти:

1. Границы массы одной монеты для каждого эксперимента.
2. Эксперимент с наибольшей точностью.
3. Объём одной монетки и его погрешность (используя самый точный эксперимент).

Решение:

1. Определение границ массы монеты:

• Эксперимент 1:
• 2 монеты > 10 г $$ \implies $$ масса 1 монеты > $$ \frac{10}{2} = 5 $$ г.
• 2 монеты < 20 г $$ \implies $$ масса 1 монеты < $$ \frac{20}{2} = 10 $$ г.
• Границы: от 5.0 г до 10.0 г
• Эксперимент 2:
• 15 монет > 110 г $$ \implies $$ масса 1 монеты > $$ \frac{110}{15} \approx 7.333... $$ г. Округляем до десятых: 7.4 г.
• 15 монет < 120 г $$ \implies $$ масса 1 монеты < $$ \frac{120}{15} = 8 $$ г.
• Границы: от 7.4 г до 8.0 г
• Эксперимент 3:
• 25 монет > 180 г $$ \implies $$ масса 1 монеты > $$ \frac{180}{25} = 7.2 $$ г.
• 25 монет < 190 г $$ \implies $$ масса 1 монеты < $$ \frac{190}{25} = 7.6 $$ г.
• Границы: от 7.2 г до 7.6 г

Оценка точности эксперимента:

Точность определения массы одной монеты выше в том эксперименте, где диапазон (разница между верхней и нижней границей) меньше.

• Эксперимент 1: $$ 10.0 - 5.0 = 5.0 $$ г.
• Эксперимент 2: $$ 8.0 - 7.4 = 0.6 $$ г.
• Эксперимент 3: $$ 7.6 - 7.2 = 0.4 $$ г.

Наименьший диапазон у Эксперимента 3 (0.4 г), следовательно, точность определения массы одной монеты будет выше в третьем эксперименте.

Объём монетки и погрешность:

Используем результаты третьего эксперимента, так как он самый точный. Границы массы: от 7.2 г до 7.6 г. Среднее значение массы монеты: $$ m_{ср} = \frac{7.2 + 7.6}{2} = 7.4 $$ г.

Объём одной монетки ($$V$$):

Объём = Масса / Плотность.

\[ V = \frac{m_{ср}}{\rho} = \frac{7.4 \text{ г}}{6.8 \text{ г/см}^3} \approx 1.0882 \text{ см}^3 \]

• Округляем до сотых: $$ V \approx 1.09 $$ см³.

Погрешность объёма:

Сначала найдём границы массы для третьего эксперимента, округляя до сотых, чтобы было удобнее:

• Нижняя граница массы: 7.20 г
• Верхняя граница массы: 7.60 г

Теперь найдём объёмы, соответствующие этим границам:

• Нижний объём: $$ V_{низ} = \frac{7.20 \text{ г}}{6.8 \text{ г/см}^3} \approx 1.0588 \text{ см}^3 \)
• Верхний объём: $$ V_{верх} = \(\frac{7.60 \text{ г}}{6.8 \text{ г/см}^3}\) \(\approx\) 1.1176 \(\text{ см}\)^3 \)

Теперь найдём погрешность объёма. Это половина разницы между верхним и нижним объёмом:

\[ \Delta V = \frac{V_{верх} - V_{низ}}{2} = \frac{1.1176 - 1.0588}{2} = \frac{0.0588}{2} = 0.0294 \text{ см}^3 \]

• Округляем погрешность до сотых: $$ \Delta V \approx 0.03 $$ см³.

Таким образом, объём монетки можно записать как $$ 1.09 \pm 0.03 $$ см³.

Ответ:

1. Границы массы одной монеты:
   • Эксперимент 1: от 5.0 г до 10.0 г.
   • Эксперимент 2: от 7.4 г до 8.0 г.
   • Эксперимент 3: от 7.2 г до 7.6 г.
2. Наибольшая точность в третьем эксперименте.
3. Объём одной монетки: $$ 1.09 $$ см³. Погрешность объёма: $$ 0.03 $$ см³.