10. Сколько действительных корней имеет уравнение: а) $2^{-x}=\frac12x$; б) $2^x=4x$; в) $2^{|x|}=x+1$; г) $3^x=x+3$; д) $2^x=3-x$; е) $2^x=\frac1x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10. Сколько действительных корней имеет уравнение: а) $2^{-x}=\frac12x$; б) $2^x=4x$; в) $2^{|x|}=x+1$; г) $3^x=x+3$;…$ Фото задания

10. Сколько действительных корней имеет уравнение: а) $2^{-x}=\frac12x$; б) $2^x=4x$; в) $2^{|x|}=x+1$; г) $3^x=x+3$; д) $2^x=3-x$; е) $2^x=\frac1x$.

Accepted Answer

а) Так как $2^{-x}>0$, необходимо $x>0$. Уравнение равносильно $2^{1-x}=x$. Рассмотрим $f(x)=2^{1-x}-x$: при $x>0$ функция строго убывает, поскольку $f'(x)=-(\ln 2)2^{1-x}-1<0$. Кроме того, $f(0)=2>0$, а при $x=2$ имеем $f(2)=\frac12-2<0$. Следовательно, корень ровно один.

б) Рассмотрим $f(x)=2^x-4x$. При $x<0$ правая часть отрицательна, а левая положительна, поэтому корней нет. Для $x\geq0$ производная $f'(x)=(\ln 2)2^x-4$ обращается в ноль ровно один раз; значит, функция сначала убывает, затем возрастает. При этом $f(0)=1>0$, $f(2)=-4<0$, а $f(4)=0$. У убывающей части есть один корень между 0 и 2, у возрастающей — один корень $x=4$. Итого два корня.

в) При $x<0$ уравнение принимает вид $2^{-x}=x+1$, но при $x\leq-1$ правая часть неположительна, а левая положительна. На $(-1,0)$ функция $2^{-x}-(x+1)$ строго убывает, так как её производная $-(\ln 2)2^{-x}-1<0$; значения на концах имеют разные знаки: при $x=-1$ разность положительна, при $x=0$ равна нулю. Корень здесь один, $x=0$. При $x\geq0$ уравнение $2^x=x+1$ имеет корень $x=0$; функция $2^x-x-1$ строго выпукла, её производная в нуле отрицательна, а затем становится положительной, поэтому имеется ещё ровно один положительный корень. Итого два различных корня.

г) Положим $f(x)=3^x-x-3$. При $x\leq0$ функция строго убывает, поскольку $f'(x)=(\ln 3)3^x-1<0$, а $f(0)=-2$; корней на этой части нет. При $x>0$ производная строго возрастает и меняет знак один раз, поэтому у функции один минимум. Так как $f(0)<0$, а $f(x)\to+\infty$ при $x\to+\infty$, после минимума график пересекает ось ровно один раз. Итого один корень.

д) Рассмотрим $f(x)=2^x+x-3$. Производная $f'(x)=(\ln 2)2^x+1>0$, значит, функция строго возрастает и может иметь не более одного корня. Поскольку $f(1)=0$, корень ровно один: $x=1$.

е) Область определения: $x\ne0$. При $x<0$ левая часть положительна, правая отрицательна, корней нет. При $x>0$ уравнение равносильно $x2^x=1$. Функция $x2^x$ строго возрастает на $(0,+\infty)$, а при $x=\frac12$ равна $\frac{\sqrt2}{2}<1$, при $x=1$ равна 2. Следовательно, имеется ровно один положительный корень.

Ответ: а) 1; б) 2; в) 2; г) 1; д) 1; е) 1.

10. Сколько действительных корней имеет уравнение: а) \(2^{-x}=\frac12x\); б) \(2^x=4x\); в) \(2^{|x|}=x+1\); г) \(3^x=x+3\); д) \(2^x=3-x\); е) \(2^x=\frac1x\).

Ответ: