Ответ:

  1. Решив — деепричастие; обозначает добавочное действие.
  2. Начальная форма — решить.
  3. Постоянные признаки: совершенный вид, невозвратное.
  4. Неизменяемое слово.
  5. В предложении входит в деепричастный оборот решив задачу; оборот является обстоятельством времени: ученик вздохнул (когда?) после того, как решил задачу.