10. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок промахнётся ровно 3 раза.

Решение:

1. Обозначим вероятность попадания в мишень как \( p \) и вероятность промаха как \( q \).
2. По условию, \( p = 0.9 \).
3. Вероятность промаха \( q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1 \).
4. Стрелок стреляет 4 раза, значит \( n = 4 \).
5. Нужно найти вероятность того, что стрелок промахнётся ровно 3 раза. Это означает, что будет 1 попадание и 3 промаха.
6. Используем формулу Бернулли: \( P(k) = C_n^k \cdot p^{n-k} \cdot q^k \), где \( n \) — общее число испытаний, \( k \) — число «успехов» (в данном случае, промахов), \( p \) — вероятность «успеха», \( q \) — вероятность «неудачи».
7. В нашем случае, \( n = 4 \) (все выстрелы), \( k = 3 \) (количество промахов), \( q = 0.1 \) (вероятность промаха), \( p = 0.9 \) (вероятность попадания).
8. \( P(3 \text{ промаха}) = C_4^3 \cdot (0.9)^{4-3} \cdot (0.1)^3 \)
9. Вычисляем число сочетаний: \( C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(1)} = 4 \).
10. Подставляем значения в формулу: \( P(3 \text{ промаха}) = 4 \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^3 = 4 \cdot 0.9 \cdot 0.001 \)
11. \( P(3 \text{ промаха}) = 3.6 \cdot 0.001 = 0.0036 \)

Ответ: 0.0036.