10. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 16 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 42 часа после отплытия из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс? (Единицы измерения в ответе писать не надо.)

Решение:

Определим скорости теплохода по течению и против течения:

• Скорость по течению: \( v_{по\;течению} = v_{теплохода} + v_{течения} = 16 + 4 = 20 \) км/ч.
• Скорость против течения: \( v_{против\;течения} = v_{теплохода} - v_{течения} = 16 - 4 = 12 \) км/ч.

Определим время движения теплохода:

• Общее время рейса: 42 часа.
• Время стоянки: 4 часа.
• Время движения: \( t_{движения} = 42 - 4 = 38 \) часов.

Пусть \( t_1 \) — время движения по течению, а \( t_2 \) — время движения против течения. Тогда:

• \( t_1 + t_2 = 38 \) часов.

Расстояние, пройденное по течению, равно расстоянию, пройденному против течения, так как теплоход возвращается в исходный пункт. Обозначим это расстояние как \( S \).

• \( S = v_{по\;течению} \cdot t_1 = 20 \cdot t_1 \)
• \( S = v_{против\;течения} \cdot t_2 = 12 \cdot t_2 \)
• Значит, \( 20 \cdot t_1 = 12 \cdot t_2 \).

Выразим \( t_2 \) через \( t_1 \):

• \( t_2 = \frac{20 \cdot t_1}{12} = \frac{5}{3} t_1 \).

Подставим это в уравнение общего времени движения:

• \( t_1 + \frac{5}{3} t_1 = 38 \)
• \( \frac{3}{3} t_1 + \frac{5}{3} t_1 = 38 \)
• \( \frac{8}{3} t_1 = 38 \)
• \( t_1 = 38 \cdot \frac{3}{8} = \frac{114}{8} = \frac{57}{4} = 14.25 \) часа.

Теперь найдем расстояние \( S \):

• \( S = 20 \cdot t_1 = 20 \cdot \frac{57}{4} = 5 \cdot 57 = 285 \) км.

Всего за рейс теплоход прошел расстояние по течению и обратно против течения:

• \( S_{весь\;рейс} = S + S = 285 + 285 = 570 \) км.

Ответ: 570