10. Тип 10 № 27958. Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила давления воды на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна \(P=m\left(\frac{v^2}{L}-g\right)\), где \(m\) — масса воды в килограммах, \(v\) — скорость движения ведёрка в м/с, \(L\) — длина верёвки в метрах, \(g\) — ускорение свободного падения (считайте \(g=10\text{ м/с}^2\)). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

В верхней точке вода не выливается, если сила давления неотрицательна: \(P\geq 0\).

По условию \(m\left(\frac{v^2}{L}-g\right)\geq 0\). Поскольку масса воды положительна, получаем \(\frac{v^2}{L}\geq g\), то есть \(v\geq\sqrt{gL}\).

Переведём длину верёвки в метры: \(40\text{ см}=0.4\text{ м}\). Тогда \(v_{\min}=\sqrt{10\cdot0.4}=\sqrt{4}=2\text{ м/с}\).

Ответ: 2 м/с.