10. Тип 10 № 492 i Заполните таблицу истинности выражения: (¬(A ∨ C) ∨ B) ∧ ¬C. Указание. В работе используются следующие соглашения. Обозначения для логических операций: а) отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А); б) конъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается ∧ (например, А ∧ В); в) дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается ∨ (например, А ∨ В). 11. Тип 11 № 569 i Исполнитель Черепаха перемещается на экране компьютера, оставляя след в виде линии. В каждый кон- кретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует две команды: вперед(п) (где п — целое число), вызывающая передвижение Черепашки на п шагов в направле- нии движения; вправо(т) (где т — целое число), вызывающая изменение направления движения на т гра- дусов по часовой стрелке. Запись повтори к [команда1 команда2 команда3] означает, что последователь- ность команд в скобках повторится к раз. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, ее го- лова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. Черепахе был дан для ис- полнения следующий алгоритм: повтори 3 [вперед (8) вправо (120)]. Постройте многоугольник в среде исполнителя «Черепаха» программы Кумир и посчитайте количество точек с целыми координатами, которые находятся внутри фигуры (точки на границе считать не нужно).

Задание 10. Таблица истинности

Нам нужно заполнить таблицу истинности для выражения \( (
eg (A \lor C) \lor B) \land
eg C \). Давайте разберем выражение по частям и заполним таблицу:

Сначала найдем значения \( A \lor C \):

• \( 0 \lor 0 = 0 \)
• \( 0 \lor 1 = 1 \)
• \( 1 \lor 0 = 1 \)
• \( 1 \lor 1 = 1 \)

Теперь найдем значения \(
eg (A \lor C) \):

• \(
  eg 0 = 1 \)
• \(
  eg 1 = 0 \)

Далее найдем значения \(
eg C \):

• \(
  eg 0 = 1 \)
• \(
  eg 1 = 0 \)

Теперь найдем значения \( (
eg (A \lor C) \lor B) \):

• \( 1 \lor 0 = 1 \)
• \( 1 \lor 0 = 1 \)
• \( 0 \lor 1 = 1 \)
• \( 0 \lor 1 = 1 \)
• \( 1 \lor 0 = 1 \)
• \( 1 \lor 0 = 1 \)
• \( 0 \lor 1 = 1 \)
• \( 0 \lor 1 = 1 \)

И, наконец, найдем значения всего выражения \( (
eg (A \lor C) \lor B) \land
eg C \):

• \( 1 \land 1 = 1 \)
• \( 1 \land 0 = 0 \)
• \( 1 \land 1 = 1 \)
• \( 1 \land 0 = 0 \)
• \( 1 \land 1 = 1 \)
• \( 1 \land 0 = 0 \)
• \( 1 \land 1 = 1 \)
• \( 1 \land 0 = 0 \)

Задание 11. Алгоритм Черепахи

Алгоритм повтори 3 [вперед (8) вправо (120)] означает, что черепаха выполнит следующие действия три раза:

1. вперед (8): пройдет 8 шагов.
2. вправо (120): повернет на 120 градусов вправо.

Давайте проследим путь черепахи:

1. Шаг 1: Черепаха рисует отрезок длиной 8. Поворачивает на 120 градусов.
2. Шаг 2: Черепаха рисует второй отрезок длиной 8. Поворачивает на 120 градусов.
3. Шаг 3: Черепаха рисует третий отрезок длиной 8. Поворачивает на 120 градусов.

Сумма углов поворота составляет \( 120 + 120 + 120 = 360 \) градусов. Это означает, что черепаха вернется в исходное положение и нарисует замкнутую фигуру.

Так как каждый поворот составляет 120 градусов, сумма внешних углов фигуры равна 360 градусов. Количество сторон у такой фигуры равно \( 360 / 120 = 3 \).

Таким образом, черепаха нарисует равносторонний треугольник со стороной 8.

Теперь нам нужно посчитать количество точек с целыми координатами внутри этого треугольника.

Начальная позиция черепахи — начало координат \( (0, 0) \). Голова направлена вдоль оси ординат (вверх).

Первое движение: вперед (8). Черепаха перемещается по оси Y. Координаты становятся \( (0, 8) \).

Первый поворот: вправо (120). Исходное направление — \( 90^{\circ} \) (вдоль оси Y). Поворот на 120 градусов вправо даст направление \( 90 - 120 = -30^{\circ} \). То есть, примерно \( 330^{\circ} \) или \( 30^{\circ} \) ниже оси X.

Второе движение: вперед (8). Позиция изменится на \( 8 \cos(-30^{\circ}) \) по X и \( 8 \sin(-30^{\circ}) \) по Y.

• \( \cos(-30^{\circ}) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \sin(-30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -\frac{1}{2} \)

Изменение по X: \( 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 4 \cdot 1.732 = 6.928 \)

Изменение по Y: \( 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4 \)

Новые координаты: \( (0 + 6.928, 8 - 4) = (6.928, 4) \).

Второй поворот: вправо (120). Текущее направление \( -30^{\circ} \). Новый поворот: \( -30 - 120 = -150^{\circ} \).

Третье движение: вперед (8). Изменение по X и Y:

• \( \cos(-150^{\circ}) = \cos(150^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \sin(-150^{\circ}) = -\sin(150^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -\frac{1}{2} \)

Изменение по X: \( 8 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -4\sqrt{3} \approx -6.928 \)

Изменение по Y: \( 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4 \)

Новые координаты: \( (6.928 - 6.928, 4 - 4) = (0, 0) \).

Итак, вершины треугольника приблизительно:

• \( V_1 = (0, 8) \)
• \( V_2 = (6.928, 4) \)
• \( V_3 = (0, 0) \)

Теперь найдем точки с целыми координатами внутри этого треугольника. Ось X идет слева направо, ось Y — снизу вверх.

Уравнение стороны \( V_1V_2 \): проходит через \( (0, 8) \) и \( (6.928, 4) \). Наклон \( m = \frac{4-8}{6.928-0} = \frac{-4}{6.928} \approx -0.577 \). Уравнение: \( y - 8 = -0.577(x - 0) \) => \( y = -0.577x + 8 \).

Уравнение стороны \( V_2V_3 \): проходит через \( (6.928, 4) \) и \( (0, 0) \). Наклон \( m = \frac{4-0}{6.928-0} = \frac{4}{6.928} \approx 0.577 \). Уравнение: \( y = 0.577x \).

Уравнение стороны \( V_3V_1 \): проходит через \( (0, 0) \) и \( (0, 8) \). Это отрезок по оси Y, уравнение \( x = 0 \) для \( 0 \le y \le 8 \).

Ищем целые точки \( (x, y) \) такие, что \( x > 0 \), \( y > 0 \), \( y < 0.577x + 8 \) (для стороны \( V_1V_2 \)) и \( y > 0.577x \) (для стороны \( V_2V_3 \)).

Давайте рассмотрим целые значения x от 1 до 6 (так как \( 6.928 \) — максимальное значение x).

• x = 1: \( 0.577 < y < 0.577(1) + 8 \) => \( 0.577 < y < 8.577 \). Целые y: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. (8 точек)
• x = 2: \( 0.577(2) < y < 0.577(2) + 8 \) => \( 1.154 < y < 1.154 + 8 \) => \( 1.154 < y < 9.154 \). Целые y: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (8 точек)
• x = 3: \( 0.577(3) < y < 0.577(3) + 8 \) => \( 1.731 < y < 1.731 + 8 \) => \( 1.731 < y < 9.731 \). Целые y: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (8 точек)
• x = 4: \( 0.577(4) < y < 0.577(4) + 8 \) => \( 2.308 < y < 2.308 + 8 \) => \( 2.308 < y < 10.308 \). Целые y: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (8 точек)
• x = 5: \( 0.577(5) < y < 0.577(5) + 8 \) => \( 2.885 < y < 2.885 + 8 \) => \( 2.885 < y < 10.885 \). Целые y: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (8 точек)
• x = 6: \( 0.577(6) < y < 0.577(6) + 8 \) => \( 3.462 < y < 3.462 + 8 \) => \( 3.462 < y < 11.462 \). Целые y: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. (8 точек)

Важно! Мы не учитываем точки на границе. Вершина (0,8) не входит. Вершина (0,0) не входит. Вершина (6.928, 4) не является целой точкой.

Посмотрим на крайние точки. Например, если x=6, y=4. Попробуем подставить в уравнение второй стороны: \( 4 = 0.577 * 6 \) => \( 4 = 3.462 \) - неверно, значит точка (6,4) внутри.

Если x=6, y=11. Попробуем подставить в уравнение первой стороны: \( 11 = -0.577 * 6 + 8 \) => \( 11 = -3.462 + 8 \) => \( 11 = 4.538 \) - неверно, значит точка (6,11) внутри.

Всего точек: \( 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 48 \).

Примечание: Точный расчет координат и подсчет точек может быть сложным без использования специализированного ПО или более точных математических методов (например, формула Пика для многоугольников с целочисленными вершинами, но здесь вершины не являются целочисленными).

Ответ: 48