10. Тип 15

Решение:

• Пусть скорость первого автомобиля равна \(v\) км/ч.
• Тогда скорость второго автомобиля равна \(v + 24\) км/ч.
• Первый автомобиль проехал 420 км. Время в пути первого автомобиля: \(t_1 = \frac{420}{v}\) часов.
• Второй автомобиль выехал через 2 часа после первого и прибыл одновременно с ним.
• Время в пути второго автомобиля: \(t_2 = \frac{420}{v + 24}\) часов.
• Так как второй автомобиль ехал на 2 часа меньше, чем первый: \(t_1 - t_2 = 2\).
• Подставим выражения для времени: \(\frac{420}{v} - \frac{420}{v + 24} = 2\).
• Разделим обе части уравнения на 2: \(\frac{210}{v} - \frac{210}{v + 24} = 1\).
• Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{210(v + 24) - 210v}{v(v + 24)} = 1\).
• Раскроем скобки в числителе: \(210v + 5040 - 210v = v(v + 24)\).
• Упростим: \(5040 = v^2 + 24v\).
• Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(v^2 + 24v - 5040 = 0\).
• Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4(1)(-5040) = 576 + 20160 = 20736\).
• Найдем \(\sqrt{D}\): \(\sqrt{20736} = 144\).
• Найдем корни квадратного уравнения: \(v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 + 144}{2} = \frac{120}{2} = 60\).
• \(v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 - 144}{2} = \frac{-168}{2} = -84\).
• Так как скорость не может быть отрицательной, \(v = 60\) км/ч — скорость первого автомобиля.
• Скорость второго автомобиля: \(v + 24 = 60 + 24 = 84\) км/ч.

Ответ: 84 км/ч