10 Тип 18 i В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. На стороне АС взяли точки Х И У так, что точка Х лежит между точками А и У и АХ = BX = BY. Найдите величину угла СВУ, если ∠XBY = 4°. Запишите решение и ответ.

Решение:

В треугольнике АВС стороны AB и AC равны, значит, треугольник АВС равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠ ABC = ∠ ACB.

Рассмотрим треугольник ABX. Так как AX = BX, то треугольник ABX равнобедренный. Углы при основании AX и BX равны: ∠ BAX = ∠ ABX.

Пусть ∠ BAX = ∠ ABX = α.

В треугольнике ABX сумма углов равна 180°: ∠ AXB + ∠ BAX + ∠ ABX = 180°. Следовательно, ∠ AXB = 180° - 2α.

∠ BXC — внешний угол треугольника ABX, поэтому ∠ BXC = ∠ BAX + ∠ ABX = α + α = 2α.

Теперь рассмотрим треугольник BXY. Так как BX = BY, то треугольник BXY равнобедренный. Углы при основании BX и BY равны: ∠ BXY = ∠ BYX.

Мы знаем, что ∠ XBY = 4°.

Сумма углов в треугольнике BXY равна 180°: ∠ XBY + ∠ BXY + ∠ BYX = 180°. Следовательно, 4° + 2∠ BXY = 180°. Отсюда 2∠ BXY = 176°, и ∠ BXY = 88°. Значит, ∠ BYX = 88°.

∠ AXB и ∠ BXY — смежные углы, их сумма равна 180°. Но это неверно, так как точки A, X, Y лежат на стороне AC. Следовательно, ∠ AXB и ∠ BXY не являются смежными.

По условию, точка X лежит между A и Y. Значит, ∠ AXB и ∠ BXY — это смежные углы, если смотреть со стороны точки B.

Угол ∠ AXB = 180° - 2α. Угол ∠ BXY = 88°.

∠ AXB + ∠ BXY = 180° (смежные углы).

180° - 2α + 88° = 180°.

-2α + 88° = 0.

2α = 88°.

α = 44°.

Теперь найдем ∠ ABC. ∠ ABC = ∠ ABX + ∠ XBY + ∠ CBY. Из условия, ∠ ABC = ∠ ACB.

∠ ABX = α = 44°.

∠ ABC = ∠ ACB.

В треугольнике ABC: ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°.

∠ BAC + 2∠ ABC = 180°.

Рассмотрим треугольник BCY. BY = BX. Треугольник BCY равнобедренный.

В треугольнике BXY: ∠ XBY = 4°, ∠ BXY = ∠ BYX = 88°.

∠ AYB = 180°. Угол ∠ BYC — развернутый, если точки A, Y, C лежат на одной прямой.

По условию, X и Y лежат на стороне AC. Значит, ∠ AYB = 180°.

∠ BYC = 180° - ∠ BYX = 180° - 88° = 92°.

Рассмотрим равнобедренный треугольник BCY. У нас есть ∠ BYC = 92°.

В равнобедренном треугольнике BCY, углы при основании BC равны: ∠ YBC = ∠ YCB.

Сумма углов в треугольнике BCY: ∠ BYC + ∠ YBC + ∠ YCB = 180°.

92° + 2∠ YCB = 180°.

2∠ YCB = 180° - 92° = 88°.

∠ YCB = 44°.

Поскольку ∠ ACB = ∠ YCB, то ∠ ACB = 44°.

В равнобедренном треугольнике ABC, ∠ ABC = ∠ ACB = 44°.

Теперь найдем ∠ BAC: ∠ BAC = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - (44° + 44°) = 180° - 88° = 92°.

Вернемся к треугольнику ABX. ∠ BAX = ∠ BAC = 92°. Но мы предположили, что ∠ BAX = α = 44°. Это противоречие.

Переосмыслим условие: X лежит между A и Y. AX = BX = BY.

Пусть ∠ ABC = ∠ ACB = β. Тогда ∠ BAC = 180° - 2β.

В равнобедренном треугольнике ABX (AX = BX), ∠ BAX = ∠ ABX. Пусть ∠ BAX = ∠ ABX = α.

Тогда ∠ BAC = α. Значит, α = 180° - 2β.

Угол ∠ ABC = ∠ ABX + ∠ XBY + ∠ CBY = α + 4° + ∠ CBY = β.

В равнобедренном треугольнике BXY (BX = BY), ∠ BXY = ∠ BYX. Угол ∠ XBY = 4°. Сумма углов в BXY: 4° + 2∠ BXY = 180°. ∠ BXY = 88°. Значит, ∠ BYX = 88°.

Угол ∠ AYB = 180°. Угол ∠ BYC = 180° - ∠ BYX = 180° - 88° = 92°.

Рассмотрим треугольник BCY. BY = BX. Угол ∠ BYC = 92°. Треугольник BCY равнобедренный.

В треугольнике BCY: ∠ YBC + ∠ YCB + ∠ BYC = 180°. ∠ YBC + ∠ YCB + 92° = 180°. ∠ YBC + ∠ YCB = 88°.

Так как ∠ YCB = ∠ ACB = β, то ∠ YBC = 88° - β.

Мы имеем: ∠ ABC = ∠ ABX + ∠ XBY + ∠ CBY = α + 4° + ∠ CBY = β.

Здесь ∠ CBY = ∠ YBC.

α + 4° + (88° - β) = β.

α + 92° = 2β.

Также α = 180° - 2β.

Подставим α: (180° - 2β) + 92° = 2β.

272° = 4β.

β = 272° / 4 = 68°.

Значит, ∠ ACB = 68°.

∠ BAC = 180° - 2 * 68° = 180° - 136° = 44°.

α = ∠ BAX = 44°.

Проверим ∠ ABC = α + 4° + ∠ CBY = 44° + 4° + ∠ CBY = 48° + ∠ CBY = 68°. ∠ CBY = 20°.

Проверим ∠ YBC = 88° - β = 88° - 68° = 20°. Это совпадает.

Мы нашли ∠ CBY = 20°.

Нужно найти ∠ CBU. В условии задачи есть ∠ XBY = 4°. Мы ищем ∠ CBU, что является ∠ CBY.

Ответ: 20