10. Тип 9.1 № 12012 Из пункта А в направлении пункта Б, расстояние между которыми равно 200 км, в 6 часов утра выехал автомобиль. Одновременно с ним из пункта В, расположенного между пунктами А и Б, в том же направлении выехал велосипедист. Доехав до пункта Б, водитель автомобиля сделал остановку на 4 часа, а затем с той же скоростью поехал обратно. На рисунке график движения велосипедиста обозначен цифрой 1, график движения автомобиля обозначен цифрой 2 и приведён только на пути из А в Б. По горизонтали указано время, а по вертикали — расстояние от пункта А. Найдите, на каком расстоянии от пункта В автомобиль догнал велосипедиста. Ответ дайте в километрах.

Краткая запись:

• Расстояние между А и Б: 200 км
• Автомобиль выехал из А в 6:00
• Велосипедист выехал из В одновременно с автомобилем
• Остановка автомобиля: 4 часа

Пошаговое решение:

1. Определение движения велосипедиста (график 1):
   Велосипедист начинает движение из пункта В (200 км от А) и движется к пункту А. График 1 показывает, что велосипедист проходит 200 км за 20 часов. Его скорость: \( v_{вел} = \frac{200 \text{ км}}{20 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч} \).
   Уравнение движения велосипедиста (расстояние от А): \( s_{вел}(t) = 200 - 10t \), где \( t \) — время в часах с момента старта.
2. Определение движения автомобиля (график 2):
   Автомобиль выезжает из А (0 км) в 6:00. График 2 показывает, что автомобиль достигает пункта Б (200 км) за 5 часов (время 5:00, если считать от 0:00, или 11:00, если считать от 6:00). Следовательно, он добрался до Б за 5 часов.
   Скорость автомобиля на пути из А в Б: \( v_{авт1} = \frac{200 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 40 \text{ км/ч} \).
   Уравнение движения автомобиля на пути из А в Б: \( s_{авт}(t) = 40t \), где \( t \) — время в часах с момента старта (6:00).
3. Остановка автомобиля:
   Автомобиль остановился в пункте Б на 4 часа. Это происходит с \( t=5 \) до \( t=5+4=9 \) часов после старта.
4. Движение автомобиля обратно:
   После остановки автомобиль едет обратно к пункту А с той же скоростью \( 40 \text{ км/ч} \).
   Начало движения обратно: \( t = 9 \) часов. Расстояние от А в этот момент: \( s_{авт}(9) = 200 \text{ км} \).
   Уравнение движения автомобиля на обратном пути: \( s_{авт}(t) = 200 - 40(t - 9) \) для \( t ≥ 9 \).
5. Нахождение момента, когда автомобиль догнал велосипедиста:
   Автомобиль догоняет велосипедиста, когда их расстояния от пункта А равны. Так как автомобиль едет из А в Б, а велосипедист из В в А, то автомобиль догоняет велосипедиста, когда \( s_{авт}(t) = s_{вел}(t) \).
   Проверим пересечение графиков: График 2 показывает движение автомобиля до 5 часов. На этом участке автомобиль движется из А, а велосипедист — из В. Интересующий нас момент, когда автомобиль догоняет велосипедиста, происходит позже, когда автомобиль возвращается.
   Автомобиль начинает движение обратно в \( t = 9 \) часов. Велосипедист движется по графику \( s_{вел}(t) = 200 - 10t \).
   Приравниваем уравнения движения: \( 200 - 40(t - 9) = 200 - 10t \)
   \( -40t + 360 = 200 - 10t \)
   \( 360 - 200 = 40t - 10t \)
   \( 160 = 30t \)
   \( t = \frac{160}{30} = \frac{16}{3} \) часа.
   \( \frac{16}{3} \) часа = \( 5 \frac{1}{3} \) часа. Это время меньше 9 часов, значит, автомобиль еще не начал движение обратно, когда велосипедист достиг пункта А. Это означает, что автомобиль догнал велосипедиста на пути из А в Б. Вернемся к этому.
6. Повторное рассмотрение:
   Автомобиль движется из А в Б. Велосипедист движется из В в А. Они встретились, когда их графики пересеклись. Автомобиль выехал в 6:00. Велосипедист выехал в 6:00. График 1 (велосипедист) проходит через точки (0, 200) и (20, 0).
   График 2 (автомобиль) проходит через точки (0, 0) и (5, 200).
   Найдем точку пересечения графиков. Уравнение автомобиля: \( s_{авт}(t) = 40t \). Уравнение велосипедиста: \( s_{вел}(t) = 200 - 10t \).
   Приравниваем: \( 40t = 200 - 10t \)
   \( 50t = 200 \)
   \( t = \frac{200}{50} = 4 \) часа.
7. Расстояние от пункта А в момент встречи:
   Подставляем \( t=4 \) часа в уравнение движения автомобиля: \( s_{авт}(4) = 40 \times 4 = 160 \) км.
   Проверим по уравнению велосипедиста: \( s_{вел}(4) = 200 - 10 \times 4 = 200 - 40 = 160 \) км.
   Встреча произошла на расстоянии 160 км от пункта А.
8. Расстояние от пункта В:
   Нас спрашивают, на каком расстоянии от пункта В автомобиль догнал велосипедиста. Поскольку велосипедист движется из В к А, и встреча произошла на расстоянии 160 км от А, а общее расстояние равно 200 км, то расстояние от В до точки встречи равно \( 200 - 160 = 40 \) км.

Ответ: 40