10. Точка А(m; n) принадлежит графику функции y = √x. Найдите m и n, если известно, что m = 13n.

Решение:

Так как точка А(m; n) принадлежит графику функции \( y = \sqrt{x} \), то её координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставим координаты точки в уравнение:

\( n = \sqrt{m} \)

Нам также дано, что \( m = 13n \). Подставим это выражение вместо \( m \) в первое уравнение:

\[ n = \sqrt{13n} \]

Чтобы решить это уравнение, возведём обе части в квадрат:

\[ n^2 = 13n \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ n^2 - 13n = 0 \]

Вынесем \( n \) за скобки:

\[ n(n - 13) = 0 \]

Из этого уравнения получаем два возможных значения для \( n \):

\[ n = 0 \quad \text{или} \quad n - 13 = 0 \implies n = 13 \]

Теперь найдём соответствующие значения \( m \), используя соотношение \( m = 13n \):

Если \( n = 0 \), то \( m = 13 \cdot 0 = 0 \). В этом случае точка А(0; 0). Проверим: \( 0 = \sqrt{0} \), что верно.

Если \( n = 13 \), то \( m = 13 \cdot 13 = 169 \). В этом случае точка А(169; 13). Проверим: \( 13 = \sqrt{169} \), что также верно.

Ответ: m = 0, n = 0 или m = 169, n = 13.