10. У бабушки 20 чашек: 10 с красными цветами, 10 с синими. Бабушка наливает чай в 3 чашки. Найдите вероятность того, что все три чашки будут с синими цветами.

Решение:

Всего чашек — 20.

Чашек с синими цветами — 10.

Найдём вероятность того, что первая случайно выбранная чашка окажется с синими цветами:

\( P(1-я синяя) = \frac{\text{количество синих чашек}}{\text{общее количество чашек}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)

После выбора одной синей чашки остаётся 19 чашек, из них 9 — с синими цветами.

Найдём вероятность того, что вторая случайно выбранная чашка окажется с синими цветами:

\( P(2-я синяя | 1-я синяя) = \frac{9}{19} \)

После выбора двух синих чашек остаётся 18 чашек, из них 8 — с синими цветами.

Найдём вероятность того, что третья случайно выбранная чашка окажется с синими цветами:

\( P(3-я синяя | 1-я и 2-я синие) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \)

Вероятность того, что все три чашки будут с синими цветами, равна произведению этих вероятностей:

\( P(\text{все 3 синие}) = P(1-я синяя) \times P(2-я синяя | 1-я синяя) \times P(3-я синяя | 1-я и 2-я синие}) \)

\( P(\text{все 3 синие}) = \frac{10}{20} \times \frac{9}{19} \times \frac{8}{18} = \frac{1}{2} \times \frac{9}{19} \times \frac{4}{9} = \frac{1 \times 9 \times 4}{2 \times 19 \times 9} = \frac{36}{342} \)

Сократим дробь:

\( \frac{36}{342} = \frac{18}{171} = \frac{6}{57} = \frac{2}{19} \)

Ответ: 2/19