10. Упростите: 1) $\frac{3-x}{x^3-8}+\frac{x-2}{4+2x+x^2}$; 2) $\frac{4-a}{1-a+a^2}+\frac{a-5}{a^3+1}$; 3) $\frac{6}{3+n}-\frac{n^2-1}{n^3+27}$; 4) $\frac{b^2-4}{b^3+8}-\frac{3}{2+b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10. Упростите: 1) $\frac{3-x}{x^3-8}+\frac{x-2}{4+2x+x^2}$; 2) $\frac{4-a}{1-a+a^2}+\frac{a-5}{a^3+1}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем разложение $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$:
$\frac{3-x}{(x-2)(x^2+2x+4)}+\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{3-x+(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{x^2-5x+7}{x^3-8}$, где $x\ne2$.
Так как $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$, приводим к общему знаменателю:
$\frac{(4-a)(a+1)+(a-5)}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{-a^2+4a-1}{a^3+1}$, где $a\ne-1$.
Используем разложение $n^3+27=(n+3)(n^2-3n+9)$:
$\frac{6(n^2-3n+9)-(n^2-1)}{(n+3)(n^2-3n+9)}=\frac{5n^2-18n+55}{n^3+27}$, где $n\ne-3$.
Разложим куб суммы и разность квадратов: $b^3+8=(b+2)(b^2-2b+4)$, $b^2-4=(b-2)(b+2)$.
$\frac{b-2}{b^2-2b+4}-\frac{3}{b+2}=\frac{(b-2)(b+2)-3(b^2-2b+4)}{(b+2)(b^2-2b+4)}=\frac{-2b^2+6b-16}{b^3+8}$, где $b\ne-2$.

10. Упростите: 1) \(\frac{3-x}{x^3-8}+\frac{x-2}{4+2x+x^2}\); 2) \(\frac{4-a}{1-a+a^2}+\frac{a-5}{a^3+1}\); 3) \(\frac{6}{3+n}-\frac{n^2-1}{n^3+27}\); 4) \(\frac{b^2-4}{b^3+8}-\frac{3}{2+b}\).