10. Упростите выражение: a) a²+7ab / (a+5b)² - 5ab / (a+5b)² = 2ab + 25b² / (a+5b)²; б) (x+2y)³ / 3x²+4y² - (x-2y)³ / 3x²+4y² =

Решение:

а)

Приведем дроби к общему знаменателю \( (a+5b)^2 \).

\[ \frac{a^2 + 7ab}{(a+5b)^2} - \frac{5ab}{(a+5b)^2} = \frac{a^2 + 7ab - 5ab}{(a+5b)^2} = \frac{a^2 + 2ab}{(a+5b)^2} \]

Это выражение не равно \( \frac{2ab + 25b^2}{(a+5b)^2} \). Похоже, в условии опечатка, и второе выражение должно быть другим, или же оно является результатом, а не частью выражения для упрощения.

Если принять, что \( a^2+7ab-5ab = a^2+2ab \) и это есть результат, то тогда задание было в другом.

Предположим, что требуется упростить:

\[ \frac{a^2 + 7ab - 5ab}{(a+5b)^2} = \frac{a^2 + 2ab}{(a+5b)^2} \]

Если же мы должны были получить \( \frac{2ab + 25b^2}{(a+5b)^2} \), то тогда из \( a^2+2ab \) не получается \( 2ab+25b^2 \).

Пересмотрим условие:

\[ \frac{a^2+7ab}{(a+5b)^2} - \frac{5ab}{(a+5b)^2} = \frac{a^2+7ab-5ab}{(a+5b)^2} = \frac{a^2+2ab}{(a+5b)^2} \]

В правой части дано \( \frac{2ab + 25b^2}{(a+5b)^2} \). Это означает, что \( a^2 + 2ab \) должно быть равно \( 2ab + 25b^2 \). Это возможно только если \( a^2 = 25b^2 \), то есть \( a = \pm 5b \). Но \( a \neq -5b \) из-за знаменателя \( (a+5b)^2 \). Если \( a = 5b \), то \( a^2 = 25b^2 \), и \( a^2 + 2ab = 25b^2 + 2(5b)b = 25b^2 + 10b^2 = 35b^2 \). А \( 2ab + 25b^2 = 2(5b)b + 25b^2 = 10b^2 + 25b^2 = 35b^2 \).

Таким образом, при \( a = 5b \), выражение равно \( \frac{35b^2}{(10b)^2} = \frac{35b^2}{100b^2} = \frac{35}{100} = 0.35 \).

Если \( a = -5b \), знаменатель обращается в ноль.

Если задача состоит в упрощении, то результат \( \frac{a^2+2ab}{(a+5b)^2} \). Если же в задаче нужно было показать равенство, то оно верно только при \( a=5b \) (и \( b \neq 0 \)).

В задании сказано «Упростите выражение». Значит, результат упрощения:

\[ \frac{a^2+2ab}{(a+5b)^2} \]

Ответ для а): \( \frac{a^2+2ab}{(a+5b)^2} \).

б)

Приведем к общему знаменателю \( 3x^2+4y^2 \).

\[ \frac{(x+2y)^3}{(3x^2+4y^2)} - \frac{(x-2y)^3}{(3x^2+4y^2)} = \frac{(x+2y)^3 - (x-2y)^3}{3x^2+4y^2} \]

Раскроем кубы разности и суммы:

\( (x+2y)^3 = x^3 + 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 + (2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 \)

\( (x-2y)^3 = x^3 - 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 - (2y)^3 = x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3 \)

Вычтем второе из первого:

\[ (x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3) - (x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3) \]

\[ x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 - x^3 + 6x^2y - 12xy^2 + 8y^3 \]

Сгруппируем подобные слагаемые:

\[ (x^3 - x^3) + (6x^2y + 6x^2y) + (12xy^2 - 12xy^2) + (8y^3 + 8y^3) \]

\[ 0 + 12x^2y + 0 + 16y^3 = 12x^2y + 16y^3 \]

Теперь подставим это в дробь:

\[ \frac{12x^2y + 16y^3}{3x^2+4y^2} \]

Вынесем общий множитель \( 4y \) из числителя:

\[ \frac{4y(3x^2 + 4y^2)}{3x^2+4y^2} \]

Сокращаем \( (3x^2+4y^2) \) (при условии \( 3x^2+4y^2 \neq 0 \), что всегда верно для действительных \( x, y \) кроме \( x=0, y=0 \)):

\[ 4y \]

Ответ для б): \( 4y \).

Ответ: а) \( \frac{a^2+2ab}{(a+5b)^2} \); б) \( 4y \).