10. Упростите выражение: а) $\sqrt{7-\sqrt{24}}\text{;}$ б) $\sqrt{\sqrt{28+16\sqrt3}}\text{;}$ в) $\(\sqrt{17+6\sqrt{4-\sqrt{9+4\sqrt2}}}$$\text{.}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 10. Упростите выражение: а) $\sqrt{7-\sqrt{24}}\text{;}$ б) $\sqrt{\sqrt{28+16\sqrt3}}\text{;}$ в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Представим подкоренное выражение как квадрат разности:

$7-\sqrt{24}=7-2\sqrt6=(\sqrt6-1)^2$, так как $6+1=7$, а $2\sqrt6$ — удвоенное произведение.

$\sqrt{7-\sqrt{24}}=|\sqrt6-1|=\sqrt6-1$.

б) Сначала упростим внутренний корень:

$28+16\sqrt3=(4+2\sqrt3)^2$, поскольку $4^2+(2\sqrt3)^2=28$ и $2\cdot4\cdot2\sqrt3=16\sqrt3$.

Тогда $\sqrt{\sqrt{28+16\sqrt3}}=\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt3+1$, так как $(\sqrt3+1)^2=4+2\sqrt3$.

в) Упростим корни изнутри наружу:

$9+4\sqrt2=(\sqrt8+1)^2$, поэтому $\sqrt{9+4\sqrt2}=\sqrt8+1=2\sqrt2+1$.

Тогда $4-\sqrt{9+4\sqrt2}=3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2$, откуда $\sqrt{4-\sqrt{9+4\sqrt2}}=\sqrt2-1$.

Подставим: $17+6(\sqrt2-1)=11+6\sqrt2=(3+\sqrt2)^2$. Следовательно, исходное выражение равно $3+\sqrt2$.

Ответ: а) $\sqrt6-1$; б) $\sqrt3+1$; в) $3+\sqrt2$.

10. Упростите выражение: а) \(\sqrt{7-\sqrt{24}}\text{;}\) б) \(\sqrt{\sqrt{28+16\sqrt3}}\text{;}\) в) \(\(\sqrt{17+6\sqrt{4-\sqrt{9+4\sqrt2}}}\)\(\text{.}\)