10. В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по экономике и 20 сдали зачёт по английскому языку. Укажите номера истинных утверждений. 1) Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку. 2) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 3) Меньше 21 студента из этой группы сдали зачёты по экономике, и по английскому языку. 4) В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.

Задание 10. Студенты и зачёты

Дано:

• Всего студентов: 30 чел.
• Сдали зачёт по экономике: 20 чел.
• Сдали зачёт по англ. языку: 20 чел.

Анализ утверждений:

Для решения этой задачи удобно использовать принцип включения-исключения или диаграмму Эйлера-Венна. Обозначим:

• \( E \) — множество студентов, сдавших зачёт по экономике.
• \( A \) — множество студентов, сдавших зачёт по англ. языку.

Мы знаем, что \( |E| = 20 \) и \( |A| = 20 \). Общее количество студентов \( |U| = 30 \).

1. Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты и по экономике, и по английскому языку.

По формуле включения-исключения:

$$ |E \cup A| = |E| + |A| - |E \cap A| $$

\( |E \cup A| \) — это количество студентов, сдавших хотя бы один зачёт. Максимальное значение \( |E \cup A| \) может быть равно общему числу студентов, то есть 30.

$$ 30 \ge 20 + 20 - |E \cap A| \\ 30 \ge 40 - |E \cap A| \\ |E \cap A| \ge 40 - 30 \\ |E \cap A| \ge 10 $$

Таким образом, пересечение \( |E \cap A| \) (студенты, сдавшие оба зачёта) должно быть не менее 10. Значит, утверждение верно.

2. В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов.

Количество студентов, не сдавших ни одного зачёта, равно \( |U| - |E \cup A| \).

Мы знаем, что \( |E \cup A| = |E| + |A| - |E \cap A| = 20 + 20 - |E \cap A| = 40 - |E \cap A| \).

Чтобы найти минимальное количество студентов, не сдавших ни одного зачёта, нужно максимизировать \( |E ∪ A| \). Максимальное значение \( |E ∪ A| \) равно 30. Тогда:

$$ |E ∪ A| \le 30 \\ 40 - |E ∪ A| \le 30 \\ |E ∪ A| \ge 10 $$

Минимальное количество студентов, сдавших оба зачёта, равно 10. В этом случае \( |E ∪ A| = 30 \), и количество не сдавших ни одного зачёта будет \( 30 - 30 = 0 \).

Чтобы найти максимальное количество студентов, не сдавших ни одного зачёта, нужно минимизировать \( |E ∪ A| \). Минимальное значение \( |E ∪ A| \) равно 10. В этом случае \( |E ∪ A| = 40 - 10 = 30 \), и количество не сдавших ни одного зачёта будет \( 30 - 30 = 0 \).

Если \( |E ∪ A| = 20 \) (максимальное возможное значение, когда все сдавшие англ. язык также сдали экономику), то \( |E ∪ A| = 20 + 20 - 20 = 20 \). Студентов, не сдавших ни одного зачёта, будет \( 30 - 20 = 10 \).

Утверждение, что найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного зачёта, неверно. Максимум их может быть 10.

3. Меньше 21 студента из этой группы сдали зачёты по экономике, и по английскому языку.

Это утверждение о том, что \( |E \cap A| < 21 \). Из пункта 1 мы выяснили, что \( |E ∪ A| \ge 10 \). Также, поскольку \( |E| = 20 \) и \( |A| = 20 \), то \( |E ∪ A| \) не может быть больше 20 (количество студентов, сдавших по одному предмету). Поэтому \( 10 \le |E \cap A| \le 20 \).

Любое число из этого диапазона меньше 21. Значит, утверждение верно.

4. В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.

Это утверждение о количестве студентов, которые сдали экономику, но не сдали английский язык. Это \( |E| - |E \cap A| \).

Мы знаем, что \( 10 \le |E \cap A| \le 20 \).

Если \( |E ∪ A| = 10 \), то \( |E| - |E \cap A| = 20 - 10 = 10 \).

Если \( |E ∪ A| = 20 \), то \( |E| - |E \cap A| = 20 - 20 = 0 \).

Таким образом, количество студентов, которые не сдали английский, но сдали экономику, может быть от 0 до 10. Утверждение, что их найдётся 20, неверно.

Итог: Верными являются утверждения 1 и 3.

Ответ: 1, 3