Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
10) В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по экономике и 20 сдали зачёт по английскому языку. Укажите номера истинных утверждений. 1) Хотя бы 10 студентов из этой группы сдали зачёты И по экономике, и по английскому языку. 2) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 3) Меньше 21 студента из этой группы сдали зачёты И по экономике, и по английскому языку. 4) В этой группе найдётся 20 студентов, которые не сдали зачёт по английскому языку, но сдали зачёт по экономике.
Ответ:
Краткое пояснение:
Краткое пояснение: Для решения задачи используем принцип включения-исключения. Обозначим: Э - студенты, сдавшие экономику; А - студенты, сдавшие английский. Известно, что всего студентов 30. Сдали экономику ( |Э| ) = 20. Сдали английский ( |А| ) = 20.
Анализ утверждений:
- Утверждение 1: Нужно найти минимальное количество студентов, сдавших оба предмета. По принципу включения-исключения: |Э ∪ А| = |Э| + |А| - |Э ∩ А|. Максимальное число студентов, сдавших хотя бы один предмет, равно общему числу студентов, то есть 30. Значит, 30 ≥ 20 + 20 - |Э ∩ А|, откуда |Э ∩ А| ≥ 40 - 30 = 10. Таким образом, хотя бы 10 студентов сдали оба предмета. Утверждение истинно.
- Утверждение 2: Нам нужно найти максимальное количество студентов, не сдавших ни одного предмета. Это равно общему числу студентов минус те, кто сдал хотя бы один предмет: 30 - |Э ∪ А|. Минимальное значение |Э ∪ А| равно максимальному из |Э| и |А|, то есть 20. Максимальное значение |Э ∪ А| равно 30. Значит, максимальное число не сдавших = 30 - 20 = 10. Минимальное число не сдавших = 30 - 30 = 0. Следовательно, не может быть 11 студентов, не сдавших ни одного предмета. Утверждение ложно.
- Утверждение 3: Нужно найти максимальное количество студентов, сдавших оба предмета, и проверить, меньше ли оно 21. Из пункта 1 мы знаем, что |Э ∩ А| ≥ 10. Максимальное значение |Э ∩ А| равно минимуму из |Э| и |А|, то есть 20. Таким образом, количество студентов, сдавших оба предмета, находится в диапазоне от 10 до 20. Любое число из этого диапазона меньше 21. Утверждение истинно.
- Утверждение 4: Нужно найти количество студентов, которые не сдали английский (¬А) и сдали экономику (Э). Это |Э ¬А|, что равно |Э| - |Э ∩ А|. Минимальное значение |Э ∩ А| = 10, тогда |Э ¬А| = 20 - 10 = 10. Максимальное значение |Э ∩ А| = 20, тогда |Э ¬А| = 20 - 20 = 0. Таким образом, количество студентов, сдавших экономику и не сдавших английский, находится в диапазоне от 0 до 10. Не может быть 20 таких студентов. Утверждение ложно.
Ответ: 1, 3
