10. В классе 25 учеников. Из них 18 человек получили за четверть отметку «5» и 12 человек «5» по биологии. Укажите номера истинных утверждений.

Решение:

Всего учеников: 25.

Получили «5» за четверть: 18.

Получили «5» по биологии: 12.

Проверим утверждения:

1. «Каждый ученик класса получил за четверть отметку «5»». Это неверно, так как 18 учеников получили «5», а \( 25 - 18 = 7 \) учеников получили другие отметки.
2. «Обязательно найдётся 5 учеников в классе, которые получили «5» и по географии, и по биологии». В условии не указано количество учеников, получивших «5» по географии. Если предположить, что «четверть» относится к среднему баллу или к оценкам по нескольким предметам, то без данных по географии это утверждение нельзя проверить. Однако, если «отметка «5» за четверть» — это обобщенное понятие, то мы можем использовать принцип включения-исключения. Но так как нет данных по географии, это утверждение невозможно проверить.
3. «Все ученики класса отличники». Это неверно, так как только 18 учеников получили «5».
4. «Не найдётся 13 учеников в классе с отметкой «5» за четверть». Это утверждение истинно. Поскольку 18 учеников получили «5», то утверждение, что НЕ найдется 13 учеников, является истинным, ведь 18 > 13.

Примечание: Утверждение №2 невозможно проверить из-за отсутствия данных по географии. Если предположить, что "за четверть" означает "по всем предметам", то нужно знать, сколько учеников получили "5" по всем предметам. Но это слишком сильное предположение. Проверим, можно ли вывести это из данных.

Пусть A - множество учеников, получивших «5» за четверть, |A| = 18.

Пусть B - множество учеников, получивших «5» по биологии, |B| = 12.

Общее число учеников N = 25.

Мы знаем, что \( |A \cup B| ≤ N \).

\( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \)

\( |A 3 B| = 18 + 12 - |A 3 B| = 30 - |A 3 B| \)

Так как \( |A 3 B| ≤ 25 \), то \( 30 - |A 3 B| ≤ 25 \), следовательно \( |A 3 B| ≥ 30 - 25 = 5 \).

Это означает, что минимум 5 учеников получили «5» и за четверть, и по биологии. Утверждение №2 гласит «Обязательно найдётся 5 учеников в классе, которые получили «5» и по географии, и по биологии». Если «получили за четверть отметку «5»» означает «получили «5» по ВСЕМ предметам за четверть», то это другое. Но если это «хотя бы по одному предмету», то нам не хватает данных по географии.

Однако, если трактовать «отметку «5» за четверть» как некую обобщенную оценку, и «по биологии» как конкретный предмет, то утверждение №2 все еще остается непроверяемым без информации о географии.

Предположим, что имеется в виду: