10. В коробке с ёлочными игрушками лежит 9 ёлочных шаров: 4 красных, 3 зелёных и 2 синих. Наугад из коробки достают несколько шаров. Укажите номера истинных утверждений.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи будем использовать принцип Дирихле и вероятностное мышление. Наша цель — определить, какие утверждения гарантированно верны при любом возможном исходе вытягивания шаров.

Пошаговое решение:

• Дано:
  • Всего шаров: 9
  • Красных: 4
  • Зелёных: 3
  • Синих: 2
• Анализ утверждений:
• 1) Если достать 6 шаров, то среди них обязательно будет шар красного цвета.
  В худшем случае мы можем вытащить все шары не красного цвета: 3 зелёных + 2 синих = 5 шаров. Следующий, 6-й шар, обязательно будет красным. Утверждение истинно.
• 2) Если достать 4 шара, то среди них обязательно будут 2 шара разного цвета.
  Мы можем вытащить 4 красных шара, и они будут одного цвета. Или 3 зелёных и 1 красный. Таким образом, 2 разных цвета не гарантированы. Утверждение ложно.
• 3) Если достать 8 шаров, то среди них обязательно будут шары трёх разных цветов.
  В худшем случае мы можем вытащить все шары одного или двух цветов. Например, 4 красных + 3 зелёных = 7 шаров. Следующий, 8-й шар, может быть синим, и тогда у нас будут шары трех цветов. Но если мы вытащим 4 красных и 2 синих = 6 шаров, то следующий 7-й может быть зелёным (4 красных, 3 зелёных, 2 синих - всего 9 шаров, так что это возможно). Если мы вытащили 4 красных и 3 зеленых = 7 шаров, то 8-й шар будет синим. Получим 3 цвета. 4 красных + 2 синих = 6. 7-й может быть зеленым. 8-й может быть зеленым. Тогда у нас будет 4 красных и 5 зеленых (3+2=5). Это не так. Рассмотрим другой худший вариант: 4 красных + 3 зеленых = 7 шаров. 8-й шар будет синим, и мы получим шары трех цветов. Давайте подумаем: что если мы вытянем 4 красных и 2 синих = 6 шаров. Затем 2 зеленых = 8 шаров. У нас будут 4 красных, 2 синих, 2 зеленых. Три цвета. Что если мы вытянем 3 зеленых и 2 синих = 5 шаров. Затем 3 красных = 8 шаров. У нас будут 3 зеленых, 2 синих, 3 красных. Три цвета. Действительно, если мы вытащим 8 шаров, то наихудший сценарий, чтобы избежать трех цветов - это вытащить все шары двух цветов. Максимум шаров двух цветов: 4 красных + 3 зеленых = 7 шаров. Если мы достанем 8 шаров, то один из них обязательно будет синим, и у нас будут все три цвета. Утверждение истинно.
• 4) Если достать 3 шара, то они обязательно будут трёх разных цветов.
  Мы можем достать 3 красных шара. Или 2 красных и 1 зелёный. Разные цвета не гарантированы. Утверждение ложно.

Ответ: 1, 3