10. В параллелограмме ABCD проведены высоты BE и BF. Докажите, что треугольник ABE подобен треугольнику CBF.

Рассмотрим треугольники ABE и CBF.

1. BE — высота параллелограмма, поэтому \(BE\perp AD\). Так как точки A, E и D лежат на одной прямой, то \(\angle AEB=90^\circ\).
2. BF — высота параллелограмма, поэтому \(BF\perp CD\). Так как точки C, F и D лежат на одной прямой, то \(\angle CFB=90^\circ\).
3. В параллелограмме \(AB\parallel CD\), а \(AD\parallel BC\). Поэтому угол между сторонами AB и AD равен углу между сторонами CD и CB: \(\angle BAE=\angle BCF\).

Следовательно, у треугольников ABE и CBF равны два угла:

\[\angle AEB=\angle CFB,\qquad \angle BAE=\angle BCF.\]

Значит, по двум углам треугольники подобны:

\[\triangle ABE\sim\triangle CBF.\]

Что и требовалось доказать.