10. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша — познакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение. Дима сказал: «Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов». Антон сказал: «Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин». Борис сказал: «Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин». Вадим сказал: «Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов». Гриша сказал: «Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов». Какую фамилию носит каждый из друзей?

Обозначим утверждения «фамилия Вадима — Белкин» и «фамилия Гриши — Чехов». Первое повторяется у Антона и Вадима, второе — у Вадима и Гриши.

Если бы Вадим был Белкиным, то Антон должен был бы быть Мишиным или иначе его утверждения не дали бы ровно одной истины. Тогда утверждения Бориса о фамилиях Вадима и своей обе были бы ложными либо противоречили бы условию о том, что у него одно истинное и одно ложное высказывание. Значит, Вадим не Белкин.

Тогда утверждение Антона о Белкине ложно, а его первое утверждение истинно: Антон — Мишин. У Вадима первое утверждение ложно, поэтому второе истинно: Гриша — Чехов. У Гриши первое утверждение истинно, значит, второе ложно: Антон не Тихонов. У Димы утверждение о собственной фамилии ложно, поэтому Борис — Хохлов. У Бориса утверждение о собственной фамилии (что он Мишин) ложно, значит, Вадим — Тихонов. Оставшаяся фамилия Белкин принадлежит Диме.

Ответ: Антон — Мишин, Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Дима — Белкин, Гриша — Чехов.