10. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша — знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение. Дима сказал: «Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов». Антон сказал: «Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин». Борис сказал: «Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин». Вадим сказал: «Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов». Гриша сказал: «Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов». Какую фамилию носит каждый из друзей?

Обозначим фамилии: Мишин, Хохлов, Тихонов, Белкин и Чехов. По условию в каждой паре утверждений ровно одно истинно.

1. Если Вадим — Белкин, то утверждение «фамилия Гриши — Чехов» должно быть ложным. Тогда по словам Гриши утверждение «фамилия Антона — Тихонов» истинно. Антон не Мишин, поэтому его пара утверждений требует, чтобы Вадим был Белкиным — это согласуется. Но тогда Борисова пара требует, чтобы Борис был Мишиным; при этом Дима не может быть Мишиным, а первое утверждение Димы ложно, значит Борис — Хохлов. Противоречие: Борис не может одновременно быть Мишиным и Хохловым.
2. Значит, Вадим не Белкин. Из пары утверждений Антона следует, что Антон — Мишин. Из пары Бориса тогда следует, что Вадим — Тихонов, а Борис не Мишин. Дима не Мишин, поэтому для его пары истинно утверждение, что Борис — Хохлов. Остаются фамилии Белкин и Чехов для Димы и Гриши. Так как Вадим не Белкин, в паре утверждений Вадима истинно, что Гриша — Чехов; следовательно, Дима — Белкин.

Проверка: у каждого друга в его паре высказываний одно утверждение истинно, а другое ложно.

Ответ: Антон — Мишин, Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Дима — Белкин, Гриша — Чехов.