10. В прямоугольнике ABCD проведена диагональ AC. Из B опущен перпендикуляр BE на AC, E лежит на AC; AB = 12, AE : EC = 1 : 3. Найдите AC.

Обозначим AE = x. По отношению AE : EC = 1 : 3 получаем EC = 3x, а значит, AC = 4x.

В прямоугольном треугольнике ABC высота BE опущена на гипотенузу AC. По теореме о катете: AB² = AE · AC.

Подставим данные: 12² = x · 4x, откуда 144 = 4x², x² = 36. Так как длина положительна, x = 6.

Тогда AC = 4x = 24.

Ответ: AC = 24.