10. В прямоугольнике ABCD проведена диагональ AC. Из вершины B опущен перпендикуляр BE на AC; AB = 12, AE : EC = 1 : 3. Найдите AC.

Обозначим AE = x. Тогда по отношению AE : EC = 1 : 3 имеем EC = 3x, а AC = 4x.

В прямоугольном треугольнике ABC высота BE опущена на гипотенузу AC. По теореме о катете: AB² = AE · AC.

Подставим данные: 12² = x · 4x, откуда 144 = 4x² и x = 6 (длина положительна).

Тогда AC = 4x = 24.

Ответ: 24.