10. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите площадь этого треугольника, если точка касания делит гипотенузу на отрезки 4 м и 6 м.

Пусть катеты равны a и b, гипотенуза c. Отрезки гипотенузы от вершины прямого угла до точки касания равны радиусу вписанной окружности r. Тогда c = 4 + 6 = 10 м.

По теореме о касательных: a = 4 + r, b = 6 + r.

По теореме Пифагора: (4+r)² + (6+r)² = 10².

16 + 8r + r² + 36 + 12r + r² = 100.

2r² + 20r + 52 = 100.

2r² + 20r - 48 = 0.

r² + 10r - 24 = 0.

(r+12)(r-2) = 0. Так как r > 0, то r = 2 м.

Катеты: a = 4 + 2 = 6 м, b = 6 + 2 = 8 м.

Площадь S = (1/2) * a * b = (1/2) * 6 * 8 = 24 м².