10. Вершину треугольника соединяют с произвольными точками на его противоположной стороне. Докажите, что середины всех полученных отрезков лежат на одной прямой.

Пусть дан треугольник ABC, а точка X произвольно движется по стороне BC. Обозначим через M середину отрезка AX.

1. Проведём через M прямую, параллельную BC. Пусть она пересекает стороны AB и AC в точках P и Q.
2. В треугольнике ABX точка M — середина AX, а прямая MP параллельна BX, поскольку BX лежит на BC. По теореме о средней линии треугольника P — середина AB.
3. Аналогично, в треугольнике ACX прямая MQ параллельна CX, поэтому Q — середина AC.
4. Точки P и Q не зависят от выбора X: это середины сторон AB и AC. Следовательно, прямая PQ одна и та же для всех точек X. Значит, все середины отрезков AX лежат на одной прямой; эта прямая параллельна BC.