10. Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша (при этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может решить 20 задач? Ответ дайте в часах.

Решение:

Пусть \( x \) — количество задач, которое решает Гоша за 1 час. Тогда Вова решает \( x + 2 \) задачи за 1 час.

Время, за которое Гоша решает 33 задачи: \( \frac{33}{x} \) часов.

Время, за которое Вова решает 33 задачи: \( \frac{33}{x+2} \) часов.

Разница во времени составляет 1 час 15 минут, что равно \( 1.25 \) часа.

Составим уравнение:

\( \frac{33}{x} - \frac{33}{x+2} = 1.25 \)

Умножим обе части уравнения на \( x(x+2) \) чтобы избавиться от знаменателей:

\( 33(x+2) - 33x = 1.25x(x+2) \)

\( 33x + 66 - 33x = 1.25x^2 + 2.5x \)

\( 66 = 1.25x^2 + 2.5x \)

Перенесем все в одну сторону:

\( 1.25x^2 + 2.5x - 66 = 0 \)

Умножим на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\( 5x^2 + 10x - 264 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-264) = 100 + 5280 = 5380 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{5380} \approx 73.35 \)

Найдем \( x \):

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{5380}}{2 \cdot 5} = \frac{-10 \pm 73.35}{10} \]

Так как количество задач не может быть отрицательным, берем положительное значение:

\[ x = \frac{-10 + 73.35}{10} = \frac{63.35}{10} = 6.335 \]

По условию задачи, количество задач, решаемых за час, является целым числом. Попробуем найти целочисленное решение для \( x \).

Перепишем уравнение \( 5x^2 + 10x - 264 = 0 \) с учетом того, что \( x \) должно быть целым. Если \( x \) — целое, то \( x+2 \) — тоже целое. Возможно, исходное уравнение было составлено не совсем точно.

Давайте перепроверим условие: «вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова».

Время, за которое они решают 33 задачи вместе: \( \frac{33}{x + (x+2)} = \frac{33}{2x+2} \)

Время, за которое Вова решает 33 задачи: \( \frac{33}{x+2} \)

\( \frac{33}{x+2} - \frac{33}{2x+2} = 1.25 \)

\( \frac{33}{x+2} - \frac{33}{2(x+1)} = 1.25 \)

Умножим на \( 2(x+1)(x+2) \):

\( 66(x+1) - 33(x+2) = 1.25 C 2(x+1)(x+2) \)

\( 66x + 66 - 33x - 66 = 2.5(x^2 + 3x + 2) \)

\( 33x = 2.5x^2 + 7.5x + 5 \)

\( 2.5x^2 + 7.5x - 33x + 5 = 0 \)

\( 2.5x^2 - 25.5x + 5 = 0 \)

Умножим на 2:

\( 5x^2 - 51x + 10 = 0 \)

Дискриминант:

\[ D = (-51)^2 - 4 C 5 C 10 = 2601 - 200 = 2401 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49 \]

Найдем \( x \):

\[ x = \frac{51 \pm 49}{2 C 5} = \frac{51 \pm 49}{10} \]

Так как \( x \) — количество задач, оно должно быть положительным. Также оно должно быть целым.

\[ x_1 = \frac{51 + 49}{10} = \frac{100}{10} = 10 \]

\[ x_2 = \frac{51 - 49}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 \]

Поскольку сказано, что «оба за час решают целое количество задач», то \( x \) должно быть целым. Следовательно, \( x = 10 \) задач в час решает Гоша.

Тогда Вова решает \( x + 2 = 10 + 2 = 12 \) задач в час.

Проверка:

Время, за которое они вместе решат 33 задачи: \( \frac{33}{10+12} = \frac{33}{22} = 1.5 \) часа.

Время, за которое Вова один решит 33 задачи: \( \frac{33}{12} = 2.75 \) часа.

Разница: \( 2.75 - 1.5 = 1.25 \) часа, что равно 1 часу 15 минутам. Условие выполняется.

Теперь найдем время, за которое Гоша может решить 20 задач:

Время = \( \frac{20}{x} = \frac{20}{10} = 2 \) часа.

Ответ: 2 часа.