Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 10. Вычислите: 1) \((1-i)^8\); 2) \((1+i)^{15}\); 3) \(\left(\frac{-1+\sqrt{2}i}{2}\right)^3\); 4) \((1+i)^{-3}\); 5)…Фото задания

Ответ:

  1. \((1-i)^2=1-2i+i^2=-2i\), поэтому \((1-i)^4=(-2i)^2=-4\), а \((1-i)^8=16\).

  2. \((1+i)^2=2i\), откуда \((1+i)^4=-4\). Тогда \((1+i)^{15}=((1+i)^4)^3(1+i)^3=(-4)^3(-2+2i)=128-128i\).

  3. Для \(a=-\frac12\), \(b=\frac{\sqrt2}{2}\) используем формулу \((a+bi)^3=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i\).

    Действительная часть: \(-\frac18+\frac34=\frac58\). Мнимая часть: \(\frac{3\sqrt2}{8}-\frac{2\sqrt2}{8}=\frac{\sqrt2}{8}\).

    Следовательно, результат равен \(\frac58+\frac{\sqrt2}{8}i\).

  4. \((1+i)^3=-2+2i\). Поэтому \((1+i)^{-3}=\frac{1}{-2+2i}=\frac{-2-2i}{(-2)^2+2^2}=-\frac{1+i}{4}\).

  5. \((1-i)^4=-4\), значит \((1-i)^{12}=(-4)^3=-64\). Следовательно, \((1-i)^{-12}=-\frac{1}{64}\).

Ответ: 1) 16; 2) 128 − 128i; 3) \(\frac58+\frac{\sqrt2}{8}i\); 4) \(-\frac{1+i}{4}\); 5) \(-\frac{1}{64}\).