10. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Поскольку BM — высота к стороне AD, BM ⟂ AD, поэтому треугольник ABM прямоугольный, а его гипотенуза — AB. По условию ∠ABM = 30°, а AM = 4 см лежит напротив этого угла.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Поэтому AB = 2 · AM = 8 см.

Угол BAD дополняет угол между AB и BM до 90°, поэтому ∠BAD = 90° − 30° = 60°. В ромбе со стороной 8 см и углом 60° диагональ BD равна 8 см: например, из теоремы косинусов в треугольнике ABD получаем BD² = 8² + 8² − 2 · 8 · 8 · cos 60° = 64, следовательно, BD = 8 см.

Ответ: 8 см.