10/(x-1) - 9/x = 1/2

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе. Нам нужно найти такое значение x, при котором левая часть уравнения будет равна правой.

1. Приводим к общему знаменателю: Сначала найдем общий знаменатель для дробей в левой части. Это будет x(x-1). Умножим первую дробь на x/x, а вторую на (x-1)/(x-1):
   • \[ \frac{10x}{x(x-1)} - \frac{9(x-1)}{x(x-1)} = \frac{1}{2} \]
2. Вычитаем дроби: Теперь, когда знаменатели одинаковые, можем вычесть числители:
   • \[ \frac{10x - 9(x-1)}{x(x-1)} = \frac{1}{2} \]
   • \[ \frac{10x - 9x + 9}{x^2 - x} = \frac{1}{2} \]
   • \[ \frac{x + 9}{x^2 - x} = \frac{1}{2} \]
3. Перемножаем крест-накрест: Чтобы избавиться от дробей, умножим числитель первой дроби на знаменатель второй и наоборот:
   • \[ 2(x + 9) = 1(x^2 - x) \]
   • \[ 2x + 18 = x^2 - x \]
4. Приводим к стандартному квадратному уравнению: Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение вида ax^2 + bx + c = 0:
   • \[ x^2 - x - 2x - 18 = 0 \]
   • \[ x^2 - 3x - 18 = 0 \]
5. Решаем квадратное уравнение: Используем дискриминант. Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac. В нашем случае a=1, b=-3, c=-18:
   • \[ D = (-3)^2 - 4(1)(-18) \]
   • \[ D = 9 + 72 \]
   • \[ D = 81 \]
6. Находим корни: Корни квадратного уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D) / 2a:
   • \[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
   • \[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
7. Проверка: Важно убедиться, что найденные корни не делают знаменатели исходных дробей равными нулю. В нашем случае знаменатели x и x-1. Оба корня (6 и -3) подходят.

Ответ: x = 6, x = -3