100. Плоскость, проходящая через точки А, В и С (см. рис.), разбивает куб на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

В предыдущей задаче мы определили, что при сечении куба плоскостью, проходящей через три его вершины, получаются два многогранника: один с 4 вершинами (треугольная пирамида) и другой с 7 вершинами.

Нас интересует многогранник с большим числом вершин, то есть тот, у которого 7 вершин.

Теперь нам нужно определить количество ребер у этого многогранника.

Рассмотрим, как плоскость пересекает ребра куба. Исходный куб имеет 12 ребер.

Когда плоскость проходит через три вершины, она отсекает треугольную пирамиду. У этой пирамиды 3 ребра на основании (треугольник) и 3 ребра, сходящиеся в вершине. Всего 6 ребер.

Многогранник, который остается, состоит из оставшихся вершин и ребер куба, а также новых ребер, образованных пересечением плоскости с гранями куба.

Давайте посчитаем ребра многогранника с 7 вершинами:

1. Исходные вершины куба: 8.
2. Плоскость проходит через 3 вершины.
3. Отсекается треугольная пирамида (4 вершины, 6 ребер).
4. Оставшийся многогранник имеет 7 вершин.
5. Ребра оставшегося многогранника:
• Ребра куба, которые не были отсечены: 12 (ребер куба) - 3 (ребра основания пирамиды, которые были отсечены) = 9 ребер.
• Новые ребра, образованные пересечением плоскости с гранями куба: плоскость, проходящая через 3 вершины, пересекает 3 грани куба, создавая 3 новых ребра (это стороны треугольного сечения).

Общее количество ребер у многогранника с 7 вершинами = 9 (старые ребра) + 3 (новые ребра) = 12 ребер.

Проверим:

У куба 8 вершин, 12 ребер, 6 граней. Формула Эйлера: В - Р + Г = 2. 8 - 12 + 6 = 2.

У треугольной пирамиды: 4 вершины, 6 ребер, 4 грани. 4 - 6 + 4 = 2.

У многогранника с 7 вершинами и 12 ребрами:

Если у него 7 вершин, и это