1003. Векторам $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны. Найдите числа $x$ и $y$, удовлетворяющие равенству: а) $3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$; б) $4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=0$; в) $x\vec a+3\vec b-y\vec b=0$; г) $\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1003. Векторам $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны. Найдите числа $x$ и $y$, удовлетворяющие равенству: а) \(3\vec…$ Фото задания

1003. Векторам $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны. Найдите числа $x$ и $y$, удовлетворяющие равенству: а) $3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$; б) $4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=0$; в) $x\vec a+3\vec b-y\vec b=0$; г) $\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=0$.

Accepted Answer

Так как векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны, равенство их линейных комбинаций возможно только при равенстве коэффициентов при каждом векторе.

а) $3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$. Приравниваем коэффициенты: $3=y$, $-x=1$. Поэтому $x=-1$, $y=3$.
б) $(4-x)\vec a+(5+y)\vec b=0$. Отсюда $4-x=0$, $5+y=0$, значит $x=4$, $y=-5$.
в) $x\vec a+(3-y)\vec b=0$. Следовательно, $x=0$, $3-y=0$, значит $y=3$.
г) $(1-3y)\vec a+(1+x)\vec b=0$. Поэтому $1-3y=0$, $1+x=0$, значит $y=\frac13$, $x=-1$.

Ответ: а) $x=-1, y=3$; б) $x=4, y=-5$; в) $x=0, y=3$; г) $x=-1, y=\frac13$.