1009. Докажите, что медиану $AA_1$ треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле $AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1009. Докажите, что медиану $AA_1$ треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле $AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$.…$ Фото задания

1009. Докажите, что медиану $AA_1$ треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле $AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Accepted Answer

Пусть $A_1$ — середина стороны $BC$. Обозначим $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$, а медиану $AA_1=m_a$.

Так как $BA_1=CA_1=\frac a2$, по теореме Стюарта для cevian (или её следствию для медианы) имеем:

$b^2+c^2=2\left(m_a^2+\frac{a^2}{4}\right)$.

Отсюда $2m_a^2=b^2+c^2-\frac{a^2}{2}$, поэтому $m_a^2=\frac14(2b^2+2c^2-a^2)$. Следовательно,

$AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$.

Пусть теперь две медианы равны: $m_a=m_b$. По доказанной формуле для медиан из вершин $A$ и $B$:

$4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2$, $4m_b^2=2a^2+2c^2-b^2$.

Приравнивая правые части, получаем $2b^2+2c^2-a^2=2a^2+2c^2-b^2$, откуда $3b^2=3a^2$, значит, $b=a$. Следовательно, $AC=BC$, и треугольник равнобедренный.

Ответ: формула доказана; равенство двух медиан влечёт равенство противоположных им сторон.