101. Сравните числа: а) 4√14 и 15; б) 1 + √20 и √30; в) √17 − √15 и √19 − √17; г) 1/(√2 + √3) и √3 − √2.

а) Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты: (4√14)² = 224, а 15² = 225. Значит, 4√14 < 15.

б) Оба числа положительны. Сравним квадраты: (1 + √20)² = 21 + 4√5. Так как 4√5 < 9 (после возведения в квадрат: 80 < 81), получаем 21 + 4√5 < 30 = (√30)². Значит, 1 + √20 < √30.

в) Рационализируем разности: √17 − √15 = 2/(√17 + √15), а √19 − √17 = 2/(√19 + √17). Поскольку √17 + √15 < √19 + √17, первая дробь больше второй. Значит, √17 − √15 > √19 − √17.

г) Рационализируем первую дробь: 1/(√2 + √3) = (√3 − √2)/((√2 + √3)(√3 − √2)) = √3 − √2, поскольку знаменатель произведения равен 3 − 2 = 1. Значит, числа равны.

Ответ: а) 4√14 < 15; б) 1 + √20 < √30; в) √17 − √15 > √19 − √17; г) 1/(√2 + √3) = √3 − √2.