1010. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых: а) $2AM^2-BM^2=2AB^2$; б) $2AM^2+2BM^2=6AB^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1010. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых: а) $2AM^2-BM^2=2AB^2$; б)…$ Фото задания

1010. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых: а) $2AM^2-BM^2=2AB^2$; б) $2AM^2+2BM^2=6AB^2$.

Accepted Answer

Обозначим через $d=AB$ расстояние между точками, а через $I$ — середину отрезка $AB$.

а) Пусть $B'$ — точка, симметричная $B$ относительно $A$. Выберем начало координат в $A$, а вектор $\overrightarrow{AB}$ обозначим $\mathbf b$, так что $|\mathbf b|=d$. Для $\overrightarrow{AM}=\mathbf m$ условие принимает вид $2|\mathbf m|^2-|\mathbf m-\mathbf b|^2=2d^2$. Раскрываем квадрат: $|\mathbf m+\mathbf b|^2=4d^2$. Поскольку $\overrightarrow{AB'}=-\mathbf b$, это равносильно $MB'=2AB$.

Значит, искомое множество — окружность с центром в точке $B'$ и радиусом $2AB$.

б) Для середины $I$ отрезка $AB$ выполняется тождество $AM^2+BM^2=2MI^2+\frac12AB^2$. Подставляем в условие:

$2\left(2MI^2+\frac12AB^2\right)=6AB^2$, откуда $MI^2=\frac54AB^2$. Следовательно, $MI=\frac{\sqrt5}{2}AB$.

Искомое множество — окружность с центром в середине $AB$ и радиусом $\frac{\sqrt5}{2}AB$.

Ответ: а) окружность с центром в точке, симметричной $B$ относительно $A$, радиуса $2AB$; б) окружность с центром в середине $AB$, радиуса $\frac{\sqrt5}{2}AB$.

1010. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых: а) \(2AM^2-BM^2=2AB^2\); б) \(2AM^2+2BM^2=6AB^2\).

Ответ: