1014 Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора. Проиллюстрируйте и докажите обратное утверждение.

Пусть \(\vec a=(a_1;a_2)\) и \(\vec b=(b_1;b_2)\), причём \(\vec a\ne\vec 0\).

1. Если векторы коллинеарны, то существует число \(k\), для которого \(\vec b=k\vec a\). По координатам это означает: \(b_1=ka_1\) и \(b_2=ka_2\). Следовательно, координаты векторов пропорциональны.
2. Обратно, пусть координаты пропорциональны: \(b_1=ka_1\) и \(b_2=ka_2\) для некоторого числа \(k\). Тогда \(\vec b=(b_1;b_2)=(ka_1;ka_2)=k\vec a\), поэтому векторы коллинеарны.

Например, \(\vec a=(2;3)\), \(\vec b=(4;6)\): координаты пропорциональны с коэффициентом \(2\), и \(\vec b=2\vec a\).