1015. Найдите $\operatorname{tg}\alpha$, если: а) $\cos\alpha=1$; б) $\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$; в) $\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$ и $0^\circ<\alpha<90^\circ$; г) $\sin\alpha=\frac35$ и $90^\circ<\alpha<180^\circ$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1015. Найдите $\operatorname{tg}\alpha$, если: а) $\cos\alpha=1$; б) $\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Из равенства $\cos\alpha=1$ следует $\sin\alpha=0$. Поэтому $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=0$.

б) По основному тригонометрическому тождеству:

\[\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac34=\frac14,\]

поэтому $\sin\alpha=\pm\frac12$. Тогда

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\pm\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}}=\mp\frac1{\sqrt3}=\mp\frac{\sqrt3}{3}.\]

Без указания четверти возможны два значения: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt3}{3}$ или $\operatorname{tg}\alpha=-\frac{\sqrt3}{3}$.

в) Так как $0^\circ<\alpha<90^\circ$, косинус положителен:

\[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}.\]

Следовательно,

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.\]

г) Так как $90^\circ<\alpha<180^\circ$, угол находится во II четверти, поэтому $\cos\alpha<0$:

\[\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac9{25}}=-\frac45.\]

Тогда

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac35}{-\frac45}=-\frac34.\]

Ответ: а) $0$; б) $\pm\frac{\sqrt3}{3}$ (знак зависит от четверти); в) $1$; г) $-\frac34$.

1015. Найдите \(\operatorname{tg}\alpha\), если: а) \(\cos\alpha=1\); б) \(\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}\); в) \(\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\) и \(0^\circ<\alpha<90^\circ\); г) \(\sin\alpha=\frac35\) и \(90^\circ<\alpha<180^\circ\).