102. Упростите выражение: 1) $(3\sqrt6+5\sqrt8-4\sqrt{32})\cdot\sqrt2-\sqrt{108}$; 2) $(\sqrt5+7\sqrt2)(7\sqrt2-\sqrt5)-(\sqrt{10}-2\sqrt5)^2$; 3) $(7-\sqrt3)^2+(4+\sqrt3)^2$; 4) $(\sqrt{7-4\sqrt3}+\sqrt{7+4\sqrt3})^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 102. Упростите выражение: 1) $(3\sqrt6+5\sqrt8-4\sqrt{32})\cdot\sqrt2-\sqrt{108}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Упростим радикалы и умножим на $\sqrt2$:
$(3\sqrt6+5\sqrt8-4\sqrt{32})\cdot\sqrt2-\sqrt{108}=(3\sqrt6+10\sqrt2-16\sqrt2)\cdot\sqrt2-6\sqrt3=6\sqrt3-12-6\sqrt3=-12$.
В первом произведении применим разность квадратов, во втором раскроем квадрат разности:
$(\sqrt5+7\sqrt2)(7\sqrt2-\sqrt5)=98-5=93$;
$(\sqrt{10}-2\sqrt5)^2=10-4\sqrt{50}+20=30-20\sqrt2$.
Следовательно, выражение равно $93-(30-20\sqrt2)=63+20\sqrt2$.
Раскроем квадраты и сложим:
$(7-\sqrt3)^2+(4+\sqrt3)^2=(49-14\sqrt3+3)+(16+8\sqrt3+3)=71-6\sqrt3$.
Заметим, что $7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2$, а $7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$. Поскольку $2>\sqrt3$, их корни равны соответственно $2-\sqrt3$ и $2+\sqrt3$. Тогда
$(\sqrt{7-4\sqrt3}+\sqrt{7+4\sqrt3})^2=((2-\sqrt3)+(2+\sqrt3))^2=4^2=16$.

Ответ: 1) $-12$; 2) $63+20\sqrt2$; 3) $71-6\sqrt3$; 4) 16.

102. Упростите выражение: 1) \((3\sqrt6+5\sqrt8-4\sqrt{32})\cdot\sqrt2-\sqrt{108}\); 2) \((\sqrt5+7\sqrt2)(7\sqrt2-\sqrt5)-(\sqrt{10}-2\sqrt5)^2\); 3) \((7-\sqrt3)^2+(4+\sqrt3)^2\); 4) \((\sqrt{7-4\sqrt3}+\sqrt{7+4\sqrt3})^2\).