1025. С помощью теорем синусов и косинусов найдите элементы треугольника ABC, если: а) ∠A = 60°, ∠B = 40°, c = 14; в) ∠A = 80°, a = 16, b = 10; д) ∠A = 60°, a = 10, b = 7; ж) b = 32, c = 45, ∠A = 87°; и) a = 6, b = 7,3, c = 4,8. Остальные подпункты обрезаны.

Question

Вопрос:

Фото задания

1025. С помощью теорем синусов и косинусов найдите элементы треугольника ABC, если: а) ∠A = 60°, ∠B = 40°, c = 14; в) ∠A = 80°, a = 16, b = 10; д) ∠A = 60°, a = 10, b = 7; ж) b = 32, c = 45, ∠A = 87°; и) a = 6, b = 7,3, c = 4,8. Остальные подпункты обрезаны.

Accepted Answer

Используем стандартные обозначения: сторона a лежит напротив угла A, b — напротив B, c — напротив C.

а) Сначала находим третий угол: C = 180° − 60° − 40° = 80°. По теореме синусов:

\(a=14\sin 60°/\sin 80°\approx12,32\), \(b=14\sin 40°/\sin 80°\approx9,18\).

в) По теореме синусов \(\sin B=b\sin A/a=10\sin80°/16\), поэтому B ≈ 37,96°. Дополнительный вариант угла B невозможен, поскольку сумма углов треугольника превысила бы 180°. Тогда C ≈ 62,04°, а \(c=a\sin C/\sin A\approx14,31\).

д) \(\sin B=b\sin A/a=7\sin60°/10\), откуда B ≈ 37,32°. Второй вариант угла не подходит, так как вместе с A он превысил бы 180°. Поэтому C ≈ 82,68°, \(c=a\sin C/\sin A\approx11,45\).

ж) По теореме косинусов \(a=\sqrt{32^2+45^2-2\cdot32\cdot45\cos87°}\approx54,59\). Затем по теореме синусов \(\sin B=b\sin A/a\), откуда B ≈ 35,80°, а C ≈ 57,20°.

и) По теореме косинусов:

\(\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)\), поэтому A ≈ 54,7°.

\(\cos B=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)\), поэтому B ≈ 88,6°.

C = 180° − A − B ≈ 36,7°.

Подпункты в правой части страницы обрезаны, поэтому их условия прочитать нельзя.

Ответ: а) C = 80°, a ≈ 12,32, b ≈ 9,18; в) B ≈ 37,96°, C ≈ 62,04°, c ≈ 14,31; д) B ≈ 37,32°, C ≈ 82,68°, c ≈ 11,45; ж) a ≈ 54,59°, B ≈ 35,80°, C ≈ 57,20°; и) A ≈ 54,7°, B ≈ 88,6°, C ≈ 36,7°.