103. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, AP = A₁P₁. Докажите, что △BPC = △B₁P₁C₁.

Так как точки P и P₁ лежат на сторонах AB и A₁B₁, то ∠PAC = ∠P₁A₁C₁: это углы A и A₁.

По условию AP = A₁P₁ и AC = A₁C₁. Следовательно, △APC = △A₁P₁C₁ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому PC = P₁C₁ и ∠APC = ∠A₁P₁C₁.

Из AB = A₁B₁ и AP = A₁P₁ получаем BP = B₁P₁, поскольку BP = AB − AP, а B₁P₁ = A₁B₁ − A₁P₁.

Точки P и B лежат на одном луче из A, а P₁ и B₁ — на одном луче из A₁. Поэтому ∠BPC и ∠B₁P₁C₁ — дополнительные к равным углам ∠APC и ∠A₁P₁C₁; значит, ∠BPC = ∠B₁P₁C₁.

Итак, BP = B₁P₁, PC = P₁C₁ и равны углы между этими сторонами. Следовательно, △BPC = △B₁P₁C₁ по двум сторонам и углу между ними.