1035. Найдите решение системы уравнений:

Решение системы уравнений:

Для решения систем уравнений воспользуемся методом подстановки или методом сложения.

1)

\(\begin{cases} 2x + y = 9 \\ x = 2y - 8 \end{cases}\)

Подставим второе уравнение в первое:

\( 2(2y - 8) + y = 9 \)

\( 4y - 16 + y = 9 \)

\( 5y = 25 \)

\( y = 5 \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = 2(5) - 8 = 10 - 8 = 2 \)

Проверка: \( 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9 \) (верно)

2)

\(\begin{cases} x - 4y = 4 \\ 5y - x = 8 \end{cases}\)

Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 4y + 4 \).

Подставим во второе уравнение:

\( 5y - (4y + 4) = 8 \)

\( 5y - 4y - 4 = 8 \)

\( y = 12 \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = 4(12) + 4 = 48 + 4 = 52 \)

Проверка: \( 52 - 4(12) = 52 - 48 = 4 \) (верно)

3)

\(\begin{cases} x = 6y \\ x + 5y = 88 \end{cases}\)

Подставим первое уравнение во второе:

\( 6y + 5y = 88 \)

\( 11y = 88 \)

\( y = 8 \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = 6(8) = 48 \)

Проверка: \( 48 + 5(8) = 48 + 40 = 88 \) (верно)

4)

\(\begin{cases} 2x + y = 10 \\ 4x - 7y = 2 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициент при \( x \) стал равен 4:

\( 4x + 2y = 20 \)

Вычтем из этого уравнения второе:

\( (4x + 2y) - (4x - 7y) = 20 - 2 \)

\( 9y = 18 \)

\( y = 2 \)

Теперь найдём \( x \) из первого уравнения:

\( 2x + 2 = 10 \)

\( 2x = 8 \)

\( x = 4 \)

Проверка: \( 4(4) - 7(2) = 16 - 14 = 2 \) (верно)

5)

\(\begin{cases} 5y - x = 8 \\ 5x - 4y = 23 \end{cases}\)

Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 5y - 8 \).

Подставим во второе уравнение:

\( 5(5y - 8) - 4y = 23 \)

\( 25y - 40 - 4y = 23 \)

\( 21y = 63 \)

\( y = 3 \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = 5(3) - 8 = 15 - 8 = 7 \)

Проверка: \( 5(7) - 4(3) = 35 - 12 = 23 \) (верно)

6)

\(\begin{cases} 3x + 4y = 0 \\ 2x - 5y = 46 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 2, второе на 3:

\( 6x + 8y = 0 \)

\( 6x - 15y = 138 \)

Вычтем второе из первого:

\( (6x + 8y) - (6x - 15y) = 0 - 138 \)

\( 23y = -138 \)

\( y = -6 \)

Теперь найдём \( x \) из первого уравнения:

\( 3x + 4(-6) = 0 \)

\( 3x - 24 = 0 \)

\( 3x = 24 \)

\( x = 8 \)

Проверка: \( 2(8) - 5(-6) = 16 + 30 = 46 \) (верно)

7)

\(\begin{cases} 15 - x = 2y \\ 4x - 3y = 27 \end{cases}\)

Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 15 - 2y \).

Подставим во второе уравнение:

\( 4(15 - 2y) - 3y = 27 \)

\( 60 - 8y - 3y = 27 \)

\( -11y = 27 - 60 \)

\( -11y = -33 \)

\( y = 3 \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = 15 - 2(3) = 15 - 6 = 9 \)

Проверка: \( 4(9) - 3(3) = 36 - 9 = 27 \) (верно)

8)

\(\begin{cases} 0,8x + y = 6,2 \\ 0,8x + 3y = 13 \end{cases}\)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (0,8x + 3y) - (0,8x + y) = 13 - 6,2 \)

\( 2y = 6,8 \)

\( y = 3,4 \)

Теперь найдём \( x \) из первого уравнения:

\( 0,8x + 3,4 = 6,2 \)

\( 0,8x = 6,2 - 3,4 \)

\( 0,8x = 2,8 \)

\( x = \frac{2,8}{0,8} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3,5 \)

Проверка: \( 0,8(3,5) + 3(3,4) = 2,8 + 10,2 = 13 \) (верно)

1) (правая колонка)

\(\begin{cases} 4x + y = 12 \\ 7x + 2y = 20 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 2:

\( 8x + 2y = 24 \)

Вычтем второе уравнение из полученного:

\( (8x + 2y) - (7x + 2y) = 24 - 20 \)

\( x = 4 \)

Теперь найдём \( y \) из первого уравнения:

\( 4(4) + y = 12 \)

\( 16 + y = 12 \)

\( y = -4 \)

Проверка: \( 7(4) + 2(-4) = 28 - 8 = 20 \) (верно)

2) (правая колонка)

\(\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + 8y = 1 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 3:

\( 3x - 6y = 15 \)

Вычтем это уравнение из второго:

\( (3x + 8y) - (3x - 6y) = 1 - 15 \)

\( 14y = -14 \)

\( y = -1 \)

Теперь найдём \( x \) из первого уравнения:

\( x - 2(-1) = 5 \)

\( x + 2 = 5 \)

\( x = 3 \)

Проверка: \( 3(3) + 8(-1) = 9 - 8 = 1 \) (верно)

3) (правая колонка)

\(\begin{cases} 4y - x = 11 \\ 5x - 2y = 17 \end{cases}\)

Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 4y - 11 \).

Подставим во второе уравнение:

\( 5(4y - 11) - 2y = 17 \)

\( 20y - 55 - 2y = 17 \)

\( 18y = 17 + 55 \)

\( 18y = 72 \)

\( y = 4 \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = 4(4) - 11 = 16 - 11 = 5 \)

Проверка: \( 5(5) - 2(4) = 25 - 8 = 17 \) (верно)

4) (правая колонка)

\(\begin{cases} 6x - y = -1 \\ 2x - 3y = -11 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 3:

\( 18x - 3y = -3 \)

Вычтем второе уравнение из полученного:

\( (18x - 3y) - (2x - 3y) = -3 - (-11) \)

\( 16x = 8 \)

\( x = \frac{8}{16} = 0,5 \)

Теперь найдём \( y \) из первого уравнения:

\( 6(0,5) - y = -1 \)

\( 3 - y = -1 \)

\( y = 4 \)

Проверка: \( 2(0,5) - 3(4) = 1 - 12 = -11 \) (верно)

5) (правая колонка)

\(\begin{cases} x + y = 7 \\ 9y - 2x = -25 \end{cases}\)

Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 7 - y \).

Подставим во второе уравнение:

\( 9y - 2(7 - y) = -25 \)

\( 9y - 14 + 2y = -25 \)

\( 11y = -25 + 14 \)

\( 11y = -11 \)

\( y = -1 \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = 7 - (-1) = 7 + 1 = 8 \)

Проверка: \( 9(-1) - 2(8) = -9 - 16 = -25 \) (верно)

6) (правая колонка)

\(\begin{cases} 5x - 3y = 0 \\ 15x + 2y = 55 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 3:

\( 15x - 9y = 0 \)

Вычтем это уравнение из второго:

\( (15x + 2y) - (15x - 9y) = 55 - 0 \)

\( 11y = 55 \)

\( y = 5 \)

Теперь найдём \( x \) из первого уравнения:

\( 5x - 3(5) = 0 \)

\( 5x - 15 = 0 \)

\( 5x = 15 \)

\( x = 3 \)

Проверка: \( 15(3) + 2(5) = 45 + 10 = 55 \) (верно)

Ответ:

1) x = 2, y = 5

2) x = 52, y = 12

3) x = 48, y = 8

4) x = 4, y = 2

5) x = 7, y = 3

6) x = 8, y = -6

7) x = 9, y = 3

8) x = 3,5, y = 3,4

1) x = 4, y = -4

2) x = 3, y = -1

3) x = 5, y = 4

4) x = 0,5, y = 4

5) x = 8, y = -1

6) x = 3, y = 5