104. Биссектрисы углов A и C параллелограмма ABCD пересекают его диагональ BD в точках E и F соответственно. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.

В параллелограмме ABCD противоположные углы равны: \(\angle A=\angle C\). Поэтому их биссектрисы параллельны:

\(AE\parallel CF\).

Рассмотрим центральную симметрию параллелограмма с центром в точке пересечения его диагоналей. При этой симметрии:

1. вершина \(A\) переходит в вершину \(C\);
2. диагональ \(BD\) переходит сама в себя;
3. биссектриса угла \(A\) переходит в биссектрису равного ему угла \(C\).

Следовательно, точка \(E\) переходит в точку \(F\). Значит, отрезок \(AE\) переходит в отрезок \(CF\), а отрезок \(AF\) — в отрезок \(CE\). При центральной симметрии соответствующие отрезки параллельны, поэтому

\(AE\parallel CF\), \(AF\parallel CE\).

В четырёхугольнике \(AECF\) обе пары противоположных сторон параллельны. Следовательно, \(AECF\) — параллелограмм.

Ответ: четырёхугольник \(AECF\) является параллелограммом.