Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 104. Сократить дробь: 1) (y − 16y^(1/2)) / (5y^(1/4) + 20); 2) (a^(4/5) − b^(4/5)) / (a^(2/5) − b^(2/5)).Фото задания

Ответ:

  1. Пусть \(t=y^{1/4}\), тогда \(y=t^4\), \(y^{1/2}=t^2\), причём \(t\geq0\). Разложим числитель и знаменатель на множители:
    \[\frac{y-16y^{1/2}}{5y^{1/4}+20}=\frac{t^4-16t^2}{5(t+4)}=\frac{t^2(t-4)(t+4)}{5(t+4)}.\]
    Сокращаем общий множитель. Исходный знаменатель не равен нулю, поэтому \(t\neq-4\); при \(t\geq0\) это условие выполнено всегда. Получаем \(\frac{t^2(t-4)}{5}=\frac{y^{1/2}(y^{1/4}-4)}{5}\).
  2. Используем формулу разности квадратов, обозначив \(A=a^{2/5}\), \(B=b^{2/5}\):
    \[\frac{a^{4/5}-b^{4/5}}{a^{2/5}-b^{2/5}}=\frac{A^2-B^2}{A-B}=A+B=a^{2/5}+b^{2/5}.\]
    Сокращение допустимо при условии исходной дроби \(a^{2/5}\neq b^{2/5}\).