104. В трапеции ABCD с основанием BC диагонали AC и BD пересекаются в точке O, OA : OC = 3, S_BOC = 7 см². Найдите площадь трапеции.

Так как BC ∥ AD, ∠BOC = ∠DOA (вертикальные углы), а ∠OBC = ∠ODA (накрест лежащие при секущей BD). Значит, △BCO ∼ △DAO по двум углам.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон. Поскольку OA : OC = 3, получаем:

S_BOC : S_DOA = (OC : OA)² = 1 : 9.

Значит, S_DOA = 9 · S_BOC = 9 · 7 = 63 см².

Треугольники BOA и BOC имеют общую высоту BH, поэтому их площади относятся как основания OA и OC:

S_BOA : S_BOC = OA : OC = 3 : 1, откуда S_BOA = 3 · 7 = 21 см².

Треугольники BOA и COD равновелики, поэтому S_COD = 21 см².

S_ABCD = S_BOC + S_DOA + 2 · S_BOA = 7 + 63 + 2 · 21 = 112 см².

Ответ: 112 см².