105. Упростить: 1) \(\dfrac{ab^{3/2}-b^{1/2}}{a^{1/2}b^{1/2}-1}\); 2) \(\dfrac{b}{a-b}+\dfrac{b^{1/2}}{a^{1/2}+b^{1/2}}\).

1) Вынесем \(b^{1/2}\) в числителе и применим разность квадратов:

\(\dfrac{ab^{3/2}-b^{1/2}}{a^{1/2}b^{1/2}-1}=\dfrac{b^{1/2}(ab-1)}{(ab)^{1/2}-1}=\dfrac{b^{1/2}((ab)^{1/2}-1)((ab)^{1/2}+1)}{(ab)^{1/2}-1}\).

Сократим общий множитель. Для исходного выражения нужны \(a\geq0\), \(b\geq0\) и \((ab)^{1/2}\ne1\).

2) Обозначим \(x=a^{1/2}\), \(y=b^{1/2}\). Тогда \(a-b=(x-y)(x+y)\), и

\(\dfrac{y^2}{(x-y)(x+y)}+\dfrac{y}{x+y}=\dfrac{y^2+y(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{xy}{(x-y)(x+y)}\).

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем \(\dfrac{(ab)^{1/2}}{a-b}\). Требуются \(a\geq0\), \(b\geq0\), \(a\ne b\).

Ответ: 1) \(b^{1/2}((ab)^{1/2}+1)\); 2) \(\dfrac{(ab)^{1/2}}{a-b}\).