106. Прочитайте высказывание и определите, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний постройте отрицания и докажите истинность отрицаний. а) ∀ x ∈ Q: x⁵ · x⁵ = x²⁵; б) ∃ x ∈ Q: x⁵ · x⁵ = x²⁵; в) ∀ x, y ∈ Q: (xy⁴)² = x²y⁶; г) ∃ x, y ∈ Q: (xy⁴)² = xy.

1. Область значений — рациональные числа. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: x⁵ · x⁵ = x¹⁰.

   а) Высказывание ложно: при x = 2 получаем 2¹⁰ = 1024, тогда как 2²⁵ = 33 554 432.

   Его отрицание: ∃ x ∈ Q: x⁵ · x⁵ ≠ x²⁵. Оно истинно: пример x = 2 подтверждает неравенство 1024 ≠ 33 554 432.

2. б) Высказывание истинно: достаточно привести рациональное значение x = 1. Тогда 1⁵ · 1⁵ = 1 = 1²⁵.

3. в) Высказывание ложно: (xy⁴)² = x²y⁸, что не всегда равно x²y⁶. Например, при x = 1, y = 2: (1 · 2⁴)² = 256, а 1² · 2⁶ = 64.

   Его отрицание: ∃ x, y ∈ Q: (xy⁴)² ≠ x²y⁶. Оно истинно, поскольку при x = 1, y = 2 получаем 256 ≠ 64.

4. г) Высказывание истинно: при x = 1, y = 1 имеем (1 · 1⁴)² = 1 = 1 · 1.

Ответ: истинны б) и г); ложны а) и в). Отрицания ложных высказываний истинны.