1074. Найдите область определения функции и постройте её график: a) y = x²-9 / 6+2x; б) y = 4-x² / x²+2x.

Решение:

а) \( y = \frac{x^2-9}{6+2x} \)

1. Область определения функции: Знаменатель не должен быть равен нулю.
2. \( 6 + 2x \neq 0 \)
3. \( 2x \neq -6 \)
4. \( x \neq -3 \)
5. Таким образом, область определения функции: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-3\} \)
6. График функции: Это гипербола с вертикальной асимптотой \( x = -3 \) и горизонтальной асимптотой \( y = 0 \) (так как степень числителя равна степени знаменателя).

б) \( y = \frac{4-x^2}{x^2+2x} \)

1. Область определения функции: Знаменатель не должен быть равен нулю.
2. \( x^2 + 2x \neq 0 \)
3. \( x(x+2) \neq 0 \)
4. \( x \neq 0 \) и \( x \neq -2 \)
5. Таким образом, область определения функции: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0\} \)
6. График функции: Это дробно-рациональная функция. Найдем точки пересечения с осями.
7. Пересечение с осью \( Oy \) (при \( x=0 \)): Функция не определена.
8. Пересечение с осью \( Ox \) (при \( y=0 \)): \( 4 - x^2 = 0 \) \( x^2 = 4 \) \( x = \pm 2 \). Точка \( x = -2 \) исключена из области определения, значит, пересечение с \( Ox \) только в точке \( x=2 \).
9. Упростим функцию: \( y = \frac{(2-x)(2+x)}{x(x+2)} = \frac{2-x}{x} \) при \( x \neq -2 \) и \( x \neq 0 \).
10. Получаем график функции \( y = \frac{2}{x} - 1 \), но с выколотыми точками при \( x=-2 \) и \( x=0 \).
11. Вертикальная асимптота: \( x = 0 \).
12. Горизонтальная асимптота: \( y = -1 \).
13. Выколотая точка: при \( x = -2 \), \( y = \frac{2-(-2)}{-2} = \frac{4}{-2} = -2 \). Точка \( (-2, -2) \) выколота.

Ответ: а) Область определения: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-3\} \). б) Область определения: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0\} \).